Group - Gun (English spelling)

Japanese: 群 - ぐん（英語表記）group

A concept in abstract algebra. Closed systems are found everywhere in certain operations, including not only numerical operations but also the composition of maps, the composition of permutations, matrix operations, and the composition of rotations. When one focuses on a single operation in a set and ignores all other properties, one arrives at the concept of a group. The concept of a group, first introduced by Galois by transforming the problem of an equation into the problem of a group of permutations between solutions, has developed rapidly and is a fundamental concept in modern algebra.

[Tsuneo Adachi]

Definition of a group

Let G be a set, and let G be given one operation (the one we are currently interested in). Let us denote the result of the operation between elements a and b as a*b (for simplicity, the * is sometimes abbreviated as ab). When the following four properties hold, G is said to form a group under the operation *.

(1) G is closed under the operation *. That is, for any two elements a and b, a*b∈G
(2) For any two elements a and b in G, a*(b*c)＝(a*b)*c (associative law)
(3) There exists a special element e in G called an identity element, such that for any element a in G, e*a＝a*e＝a
(4) For any element a in G, there exists an element b called the inverse of a, such that a*b＝b*a＝e
It is proved that there exists only one identity element mentioned in (3). Also, there exists only one inverse element for each a. Therefore, we write this as a ^-1 . In particular, a*b＝b*a (commutative law)
If holds for any two elements a, b in G, then G is called abelian or abelian group. If a nonempty subset H of a group G forms a group with the same operations as G, then H is said to be a subgroup of G.

[Tsuneo Adachi]

Examples of groups

(1) Permutation group Let M be the set of numbers 1, 2, ..., n. A permutation of M is a mapping from M onto M. It can also be thought of as a permutation of 1, 2, ..., n. Let the set of permutations of M be denoted as S _n . S _n forms a group when the composition of mappings is considered as a product. This is called the symmetric group of n letters. A subgroup of _{S n} is called a permutation group.

(2) Linear transformation group Let K be a commutative field such as the field of real numbers or the field of complex numbers. The set of regular n-th order square matrices whose components are elements of K form a group under multiplication. This is called the n-th order general linear transformation group over field K and is denoted by GL(n,K). In particular, if the set of all elements whose determinant is 1 is denoted SL(n,K), this forms a subgroup of GL(n,K). SL(n,K) is called the special linear transformation group.

(3) Congruent transformation group Let ^R3 be a three-dimensional Euclidean space. A one-to-one mapping from ^R3 onto ^R3 that does not change the distance between two points is called a congruent transformation. The set of congruent transformations forms a group called the group of congruent transformations. In particular, the product of two rotations whose axis of rotation passes through a fixed point O is also a rotation whose axis of rotation is a line that passes through O. The group of all rotations that do not move the fixed point O is called the group of rotations centered at O. The rotation group is a subgroup of the group of congruent transformations.

Furthermore, if we consider a particular regular polyhedron centered on a fixed point O, the set of rotations that bring it to a congruent position forms a subgroup of the rotation group. These are collectively called the polyhedral group. Since the regular polyhedrons are the regular tetrahedron, the regular octahedron, and the regular icosahedron, they are called the regular tetrahedron group, the regular octahedron group, and the regular icosahedron group, respectively.

[Tsuneo Adachi]

Business group

Let N be a subgroup of the group G. For any element x in G, xN＝Nx
N is said to be a normal subgroup of G when xN＝{xy|y∈N},
Nx＝{yx|y∈N}
Let G/N denote the set of sets of the form xN (x is an element of G).

G/N＝{xN|x∈G}
Between the binary elements xN and yN of G/N, (xN)・(yN)＝xyN
By defining the operation as follows, G/N forms a group by the definition of this operation, since N is a normal subgroup. G/N is called the coset group or quotient group of G by N.

For example, let Z be an additive group of integers. Let M be the subgroup of Z consisting of all multiples of an integer m. In an abelian group, all subgroups are normal. Therefore, a coset group of Z by M is created. This is the idea of cosets modulo m.

[Tsuneo Adachi]

Simple groups

A group G is said to be simple if it has no normal subgroups other than the subgroup {e} consisting of G itself and the identity element e. Research into the classification of finite simple groups has been active in recent years, and Japanese scholars have made significant contributions.

[Tsuneo Adachi]

Generator

Let S be a subset of a group G. If the smallest subgroup of G that contains S is G itself, then S is said to be a generator of G. G itself is a generator of G. A group is said to be cyclic if it has a generator consisting of only one element. Z is a cyclic group generated by 1. Let ω be the cube root of the imaginary number 1, then
G = {1, ω, ω ² }
is a cyclic group and ω is a generator of G.

[Tsuneo Adachi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

抽象代数学の概念の一つ。単に数の演算にとどまらず、写像の合成、置換の合成、行列の演算、回転変換の合成など、ある種の操作において閉じている体系が至る所でみいだされる。集合におけるある一つの演算にのみ注目して、他のすべての性質を捨象するとき、群の概念に到達する。最初、ガロアによって方程式の問題を解の間の置換のなす群の問題に転換することで導入された群の概念は、急速に発達して、現代代数学の基本概念となっている。

［足立恒雄］

群の定義

Gを集合とし、Gには（いま注目している）一つの演算が与えられているとする。元a、bの間の演算の結果をa*bと表すことにする（簡単のため、abのように＊を略すこともある）。次の四つの性質が成り立つとき、Gは＊なる演算のもとで群をなすという。

(1)Gは演算＊で閉じている。すなわち、任意の2元a、bに対してa*b∈G
(2)Gの任意の2元a、bに対して
　　a*(b*c)＝(a*b)*c　　（結合法則）
(3)Gには単位元とよばれる特別な元eが存在して、Gの任意の元aに対して
　　e*a＝a*e＝a
(4)Gの任意の元aに対してaの逆元とよばれる元bが存在して
　　a*b＝b*a＝e
　(3)に述べた単位元はただ一つしか存在しないことが証明される。また逆元も各aに対してただ一つしか存在しない。そこでこれをa^-1と記す。とくに
　　a*b＝b*a　　（可換法則）
がGの任意の2元a、bに対して成り立つとき、Gは可換群またはアーベル群とよばれる。群Gの空でない部分集合HがGと同じ演算で群をなすとき、HはGの部分群であるといわれる。

［足立恒雄］

群の例

(1)置換群　Mを数字1、2、……、nのなす集合とする。Mの置換とはMからMの上への写像のことである。あるいは1、2、……、nの順列と考えてもよい。Mの置換の全体をS_nと記す。S_nは写像の合成を積と考えるとき、群をなす。これをn文字の対称群という。S_nの部分群を置換群という。

(2)一次変換群　実数体や複素数体などの可換体をKとする。Kの元を成分とする正則なn次正方行列の全体は乗法で群をなす。これを体K上のn次の一般一次変換群といってGL(n, K)で表す。とくに行列式が1のものばかりの集合をSL(n, K)とすると、これはGL(n, K)の部分群をなす。SL(n, K)は特殊一次変換群といわれる。

(3)合同変換群　三次元のユークリッド空間をR³とする。R³からR³の上への1対1の写像であって、2点間の距離を変えないものを合同変換という。合同変換の全体は合同変換群とよばれる群をつくる。とくに、回転軸が定点Oを通るような二つの回転の積は、またOを通る直線を回転軸とする回転である。定点Oを動かさない回転の全体のなす群を、Oを中心とする回転群という。回転群は合同変換群の部分群である。

　さらに、定点Oを中心とする特定の正多面体を考え、それを合同な位置にもたらすような回転の全体は回転群の部分群をなす。これらを多面体群と総称する。正多面体が正四面体、正八面体、正二十面体であるに従って、それぞれ正四面体群、正八面体群、正二十面体群という。

［足立恒雄］

商群

Nを群Gの部分群とする。Gの任意の元xに対して
　　xN＝Nx
を満たすとき、NはGの正規部分群であるといわれる。ただし
　　xN＝｛xy|y∈N｝,
　　Nx＝｛yx|y∈N｝
である。G/NでもってxN（xはGの元）の形の集合の集合を表すことにする。

　　G/N＝｛xN|x∈G｝
G/Nの2元xNとyNの間で
　　(xN)・(yN)＝xyN
と演算を定義する。Nが正規部分群であることによってG/Nはこの演算の定義により群をなす。G/NはGのNによる剰余類群とか商群とよばれる。

　たとえばZを整数のなす加法群とする。Mでもって一つの整数mの倍数全体のなすZの部分群とする。アーベル群においてはすべての部分群が正規である。したがってZのMによる剰余類群がつくられる。これはいわゆる法mでの剰余類の考え方である。

［足立恒雄］

単純群

群GがG自身と単位元eだけからなる部分群｛e｝以外には正規部分群をもたないとき、単純であるといわれる。有限単純群の分類の研究は近時盛んに行われ、日本の学者も大いに貢献した。

［足立恒雄］

生成系

Sを群Gの部分集合とする。Sを含むGの最小の部分群がG自身となるときSはGの生成系である、といわれる。G自身Gの生成系である。ただ一つの元からなる生成系をもつとき、群は巡回群であるといわれる。Zは1から生成される巡回群である。またωを1の虚数の3乗根とするとき、
　　G＝｛1,ω,ω²｝
は巡回群で、ωがGの生成元である。

［足立恒雄］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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