Series - kyuusu (English notation) series

When we have a sequence of numbers a ₁ , a ₂ ,……, a _n ,……, the result a ₁ + a ₂ +…… that is connected by a plus sign is called a series.

This means that the question is what happens when we add up the sequence of numbers a ₁ , a ₂ , … in order. Now,
s _n =a ₁ +a ₂ +……+a _n
This is called the partial sum of the series a ₁ + a ₂ + …. When the sequence of numbers s ₁ , s ₂ , … that this partial sum creates converges to a certain value s, the series a ₁ + a ₂ + … is said to converge and its sum is s.

The series is expressed as s = n + n s n . If this is not the case, the series is said to diverge. In particular, when s _n diverges to positive infinity, the series is said to diverge to positive infinity. When each term in a series is a positive number (non-negative number), the series is called a positive-term series. In addition, when a series created by taking the absolute values ​​of each term in a series converges, the series is said to converge absolutely. Dirichlet and Riemann showed that when a series is convergent but not absolutely convergent, it can be made to converge to any value or diverge by appropriately changing the order of the terms.

The following two properties of series are important theorems that form the backbone of analysis.

[1] A series of positive terms either converges or diverges to positive infinity, and the state or sum of the series when it converges is not affected by changing the order of the terms in the series or by rearranging the terms.

[2] An absolutely convergent series converges, and its sum is unaffected by changing the order of the series or by rearranging the terms.

Various series have been studied since ancient times, and various methods for finding their sums have been devised. Series are often used to find various values. However, except in special cases, it is difficult to create a representation of a partial sum and determine how it will turn out. Therefore, various methods have been devised to determine whether a series converges or diverges. The following is one of them. Two positive term series

and the relationship between the terms is a _n ≦b _n (n = 1, 2, ...). In this case, if (2) converges, then (1) also converges. Also, if (1) diverges, then (2) also diverges.

When the signs of the series terms alternate between positive and negative, it is called an alternating series. The following theorem about alternating series has practical significance.

is an alternating series, |a ₁ |≧|a ₂ |≧……, and

Then, this series converges. And if the sum is s, then for the partial sum s _n ,
|s _n −s|≦|a _n+1 |
holds true.

It may also be necessary to create a product of series.

It would be good to be able to do calculations like this, but for example,

This is true if both are convergent, and especially if one of them is absolutely convergent.

When a series diverges, we may consider using it by assigning a value to it in an appropriate way. For example, Cesareo's summation method is

The Abel summation method is

As,

According to this, the divergent series 1-1+1-1+……
is assigned the value 1/2 by either method.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

数列a₁, a₂,……, a_n,……があるとき、これをプラスで結んだa₁＋a₂＋……を級数という。これを記号で

と表す。これは、数列a₁, a₂,……を順に足していくとどうなるか、ということが問題とされるということである。いま、
　　s_n＝a₁＋a₂＋……＋a_n
として、これを級数a₁＋a₂＋……の部分和という。この部分和のつくる数列s₁, s₂,……がある値sに収束するとき、級数a₁＋a₂＋……は収束して、その和はsであるといい、これを

で表す。そうでないときは、級数は発散するという。とくにs_nが正の無限大に発散するとき、級数は正の無限大に発散するという。級数の各項が正の数（非負の数）であるとき、この級数を正項級数という。また、級数の各項の絶対値をとってつくった級数が収束するとき、この級数は絶対収束であるという。ディリクレおよびリーマンは、級数が収束ではあるが絶対収束ではないときは、項の順序を適当に変更すれば、任意の値に収束させたり、あるいは発散させたりできることを示した。

　級数についての次の二つの性質は、解析学のバックボーンとなる重要な定理である。

〔1〕正項級数は、収束するか、または正の無限大に発散する。そしてその状態、あるいは収束したときの和は、級数の項の順序を入れ替えたり、あるいは項をくくり直したりしても影響がない。

〔2〕絶対収束級数は収束する。そして、その和は、級数の順序を入れ替えたり、あるいは項をくくり直したりしても影響がない。

　いろいろな級数が古くから考察され、その和を求める方法もいろいろくふうされた。いろいろな値を求めるとき、級数を利用することが多い。しかし、特別な場合を除いて、部分和の表示をつくり、それがどうなっていくかを見定めることは困難である。そこで、級数が収束するか発散するかを判定する方法がいろいろ考案された。次はその一つである。二つの正項級数

があって、その項の間に、a_n≦b_n (n＝1, 2,……)という関係が成り立っているとする。このとき、(2)が収束するならば(1)も収束する。また、(1)が発散するならば(2)も発散する。

　級数の項の符号が交互にプラス、マイナスを繰り返すとき、交項級数または交代級数という。交項級数に関する次の定理は、実用的な意味をもっている。

が交項級数で、|a₁|≧|a₂|≧……、かつ

ならば、この級数は収束する。そして、その和をsとするとき、部分和s_nについて、
　　|s_n－s|≦|a_n+1|
が成り立つ。

　級数の積をつくったりする必要もおこる。

というような計算ができるとよいが、たとえば

がともに収束で、とくにその一方が絶対収束ならば、このことは成り立つ。

　級数が発散するときも、これに適当な方法である値を付与し、これを利用することを考えることがある。たとえば、チェザロの総和法は

とする。アーベルの総和法は、

として、

を求める。これによれば、発散する級数
　　1－1＋1－1＋……
には、どちらの方法によっても、1/2という値が付与される。

［竹之内脩］

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