Inductive Functions

Japanese: 帰納的関数 - きのうてきかんすう

A recursive function is a mathematical concept that can be effectively calculated. It was first formulated by K. Gödel in 1931 as a primitive recursive function, and was used to prove the incompleteness theorem. A function f ( x1 , ..., _xn ) defined on the natural numbers { ₀ , 1, 2 , ...} and with values of the natural numbers is called a _primitive recursive function when it is defined by applying f(x) = x + 1 ... (1) f(x1, ..., xn ₎ ₌ q ( _q is a constant ) ... ₍ 2 ) f ( x1 , ..., xn ) = xi ₍₁ < = i < = _n ) ... _{(3) f(x1, ..., xn} ) ₌ g ( _h1 ( x1 , ..., xn ), _... , hm _(x1 _, ..., _xn ) ) ... (4) (here, g is a function of m variables, _and g , h1 , ..., hm are functions that have already been given) (here, g and h are functions that have already been given, and when n = 1, g () represents a constant).

Source: Heibonsha World Encyclopedia, 2nd Edition Information

Japanese:

〈実際effectiveに計算可能な関数〉に関する数学的概念であるリカーシブ関数recursive functionに対して，日本で定着している術語。1931年，K.ゲーデルが原始帰納的関数として初めて定式化し，これを用いて不完全性定理の証明を得た。自然数｛0,1,2，……｝の上で定義され，自然数を値とする関数f(x₁，……，x_n)が，　f(x)＝x＋1　　……(1)　　f(x₁，……，x_n)＝q　(qは定数)　　……(2)　　f(x₁，……，x_n)＝x_i　(1≦i≦n)　　……(3)　　f(x₁，……，x_n)＝g(h₁(x₁，……，x_n)，……，　　h_m(x₁，……，x_n))　　……(4)　　(ここで，gはm変数の関数で，g,h₁，……，　　h_mはすでに与えられた関数)　(ここで，g,hはすでに与えられた関数で，　　n＝1のときg(　)は定数を表すものとする)を有限回適用して定義されるとき，原始帰納的関数primitive recursive functionという。

出典　株式会社平凡社世界大百科事典第２版について　情報

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