Eisenstein's theorem

...In addition, x ² +1 is irreducible as a polynomial with real coefficients, but decomposes as for complex coefficients. It is generally difficult to determine irreducibility for a polynomial in one variable with integer coefficients, but the following Eisenstein theorem is useful. For a polynomial f ( x ) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n -1} + ... + a _n with rational integers a ₀ , a ₁ , ..., a _n as coefficients, there is a prime number p , and if (1) a ₀ is not divisible by p , (2) a ₁ , a ₂ , ..., a _n are divisible by p , and (3) a _n is not divisible by p ² , then f ( x ) is irreducible. ...

*Some of the terminology explanations that mention "Eisenstein's Theorem" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…また，x²＋1は実数係数の多項式としては既約であるが，複素数係数ではと分解する。　整数係数の1変数の多項式についての既約性の判定は，一般にはむずかしいが，次のアイゼンシュタインの定理は有用である。有理整数a₀,a₁，……，a_nを係数とする多項式f(x)＝a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_nに対し，ある素数pがあって，(1)a₀はpで割り切れない，(2)a₁,a₂，……，a_nはpで割り切れる，(3)a_nはp²で割り切れないならばf(x)は既約である。…

※「アイゼンシュタインの定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報