forcing

…Gödel's concise and complete proof is given in "The consistency of the axiom of choice and the general continuum hypothesis from set theory" (1940). In 1963, Cohen discovered a new method called forcing, and performed groundbreaking work to show that V = L , the continuum hypothesis, and the axiom of choice are each independent of ZFC (or ZF). In fact, Cohen proved that if ZF is consistent, then (1) there exists a set a that is not constructible from a subset of ω, i.e., a ⊂ ω and a ∉ L , and there exists a model of ZF in which the general continuum hypothesis (and of course AC) holds (combined with Gödel's result, V = L is independent of ZF plus the general continuum hypothesis); (2) there exists a model of ZF in which the axiom of choice holds, but (hence the continuum hypothesis is independent of ZFC); and (3) there exists a model of ZF in which the power set P (ω) of ω is not a well-ordered set, no matter how it is ordered (hence the axiom of choice is independent of ZF). …

*Some terminology explanations that mention "forcing" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…ゲーデルによる簡潔にして完全な証明が《選択公理と一般連続体仮説の集合論からの無矛盾性》(1940)で与えられている。　1963年，コーエンは強制法forcingという新しい手法を発見して，V＝L，連続体仮説や選択公理がそれぞれZFC(あるいはZF)から独立であることを示す画期的な仕事を行った。実際に，コーエンは，ZFが無矛盾ならば，(1)ωの部分集合で構成可能でない集合a，すなわち，a⊂ωでa∉Lとなるような集合aが存在し，しかも一般連続体仮説(もちろんACも)が成り立つようなZFのモデルが存在する(ゲーデルの結果と合わせ考えれば，V＝LはZFに一般連続体仮説をつけ加えたものから独立)(2)選択公理は成り立つが，であるようなZFのモデルが存在する(したがって連続体仮説はZFCから独立)(3)ωのべき集合P(ω)がいかなる順序をつけても整列集合にはならないようなZFのモデルが存在する(したがって選択公理はZFから独立)ことなどを証明した。…

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出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報