Cohen, PJ

Japanese: Cohen，P.J.（英語表記）CohenPJ

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[Axiomatic Set Theory]
Some paradoxes that appeared in Cantor's set theory, such as Russell's paradox, arise from considering things with too many elements as sets. These paradoxes were soon avoided by the axiomatization of set theory by E. Zermelo and others, who clearly defined the principles of set generation. The greatest achievement in axiomatic set theory was the solution of the continuum hypothesis, the central problem since the emergence of Cantor's set theory, which was owed to Gödel and PJ Cohen. The axioms of set theory first presented by Zermelo in 1908 were reinforced by AAFraenkel in 1922, and then formalized and formally extended using symbolic logic by J. von Neumann, and further developed by P. Bernays and Gödel.

From the Continuum Problem

…In 1940, K. Gödel showed that if the axiom system of set theory proposed by EFF Zermelo (1871-1953) and AAFraenkel (1891- ) does not contain any internal contradictions, then the axiom system (ZF axiom system) to which the continuum hypothesis and the axiom of choice are added also does not contain any internal contradictions. Furthermore, in 1963, PJ Cohen (1934- ) showed that the ZF axiom system, the continuum hypothesis, and the axiom of choice are independent. Therefore, the ZF axiom system and the axiom of choice cannot be used to determine whether the continuum hypothesis is correct or not, and set theory can be developed whether the continuum hypothesis is correct or not. …

*Some of the terminology referenced in "Cohen, PJ" is listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

Japanese:

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［公理的集合論］
　ラッセルの逆理などカントルの集合論で現れたいくつかの逆理は，あまりにも多くの要素をもつようなものを集合と考えることによって生ずるものであって，これらの逆理は，まもなく，E.ツェルメロらによる集合論の公理化によって，集合の生成原理を明確に規定することにより回避できるようになった。公理的集合論における最大の成果はカントルの集合論が出現以来の中心的課題の連続体仮説の解決であって，ゲーデルおよびコーエンP.J.Cohenに負うている。　1908年，ツェルメロによって初めて提示された集合論の公理系は，22年にフレンケルA.A.Fraenkelによって補強され，次いでJ.フォン･ノイマンによる記号論理を用いて形式化や形式上の拡張を経て，P.ベルナイス，ゲーデルによって整備された。…

【連続体問題】より

…1940年，K.ゲーデルはツェルメロE.F.F.Zermelo(1871‐1953)とフレンケルA.A.Fraenkel(1891‐　)によって提出された集合論の公理系がその内部に矛盾を含んでいなければ，この公理系(ZF公理系)に連続体仮説と選択公理をつけ加えたものも内部に矛盾を含まないことを示した。さらに63年，コーエンP.J.Cohen(1934‐　)は，ZF公理系と連続体仮説と選択公理は独立であることを示した。したがってZF公理系と選択公理を使って連続体仮説の正否を決定することはできず，連続体仮説を正しいとしても，正しくないとしても集合論を展開することができる。…

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出典｜株式会社平凡社世界大百科事典第２版について | 情報

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