Surface integral - surface integral

Japanese: 面積分 - めんせきぶん（英語表記）surface integral

In three-dimensional space, given a surface x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), consider integrating a continuous function f(x,y,z) defined in a region D in the space that contains this surface on this surface.

Now, when u and v move through a certain region M in the u-v plane, a corresponding portion S _M on the surface is drawn. If M is divided into a fine mesh (as when considering the area on a plane), and the corresponding small portion S _k on the surface is taken as well as a point P _k within S _k , and Σf(P _k )S _k is considered, then as the mesh is uniformly refined, it will converge to a certain limit value. This value is called the surface integral of f(x,y,z) on the surface S _M , and is given by

Next,

To do this, let the unit normal vector at each point on this surface be n=(λ,μ,ν). Then,

The integrals for dzdx and dxdy are calculated by replacing λ with μ and ν, respectively.

[Osamu Takenouchi]

Gauss's rule

Suppose we have a ^C1 function (a function with continuous partial derivatives) f(x,y,z) in a bounded region D in space. Consider a subregion V in D that is enclosed by a closed surface S.

etc. are true.

This corresponds to Green's formula for line integrals, and is important in the calculation of multiple integrals. Stokes' theorem is also well-known and often used.

[Osamu Takenouchi]

[Reference] | Multiple integrals

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

三次元空間において、曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)が与えられたとして、この曲面を含む空間内の一つの領域Dにおいて定義された連続関数f(x,y,z)があるとき、これをこの曲面上で積分することを考える。

　いま、u、vがu‐v平面内のある領域Mを動くとき、対応して曲面上の部分S_Mが描かれるものとする。Mを細かい網目(あみめ)に分割し（平面上の面積を考えたときのように）、対応して得られる曲面上の小部分S_kと、S_k内の一点P_kをとって、Σf(P_k)S_kを考えると、これは網目を一様に細かくしていくとき、ある極限値に収束する。この値をf(x,y,z)の曲面S_M上における面積分といって、

で表す。次に、

という形の面積分を定義する。そのために、この曲面の各点における単位法線ベクトルをn=(λ,μ,ν)とする。そして

と定める。dzdx,dxdyに関する積分は、λをそれぞれμ、νで置き換えたものとする。

［竹之内脩］