Irrational equation - irrational equation

An equation that contains an arbitrary expression for an unknown is called an arbitrary equation. For example,

When solving irrational equations, both sides of the equation may be squared or cubed to remove square root and cube root symbols and turn the equation into a polynomial equation. Doing so generally breaks the equivalence between equations (the solution set does not change). Generally, solutions that are not solutions to the original equation may appear. Such solutions are called irrational roots. For example, the equation

To solve this,

Then, squaring both sides and rearranging, we get the quadratic equation x ² -11x+28=0. Solving this, we get solutions 4 and 7. Now, substituting these solutions for x in the given equation, 4 makes the equation true, but 7 makes the left hand side of the equation a value of 9, so it doesn't. Therefore, 4 is the solution and 7 is a free root. The equation

Squaring both sides of x gives us x-1 = 4, so x = 5. The 5 makes the original equation true. In this case there are no free roots.

In general, A=B is not equivalent to A ² =B ^2. The latter gives the solution to the two equations A=B and A=-B, since A ² -B ² =(AB)(A+B)=0. The free root of the first example is the equation

The method for eliminating irrelevant roots is to impose a condition for maintaining equivalence for each transformation of the equation.

In the first example, the original equation is

If we restrict the solutions to real numbers (which is generally taken for irrational equations), then by the definition of square root, x ≥ 3, 5-x ≥ 0, and therefore x ≤ 5, so the solution must be 5 or less.

[Yoshio Takeuchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

未知数についての無理式を含む方程式を無理方程式という。たとえば、

などである。無理方程式を解く際、平方根号や立方根号などを除いて、整方程式にするため、方程式の両辺を平方したり、立方したりすることがある。そうすることによって一般に方程式間の同値性（解集合が変わらないこと）が破れることがある。一般に原方程式の解とならない解が現れることがある。このような解を無縁根という。たとえば方程式

を解くのに、

として、両辺を平方して移項すると、二次方程式x²-11x+28=0が得られる。これを解いて解4と7を得る。そこでこれらの解を与えられた方程式のxに代入すると、4は方程式を成り立たせるが、7は方程式の左辺の値を9にするので、成り立たない。したがって4が解となり、7は無縁根である。方程式

の両辺を平方すると、x-1＝4となり、したがってx＝5となる。5は始めの方程式を成り立たせる。この場合に無縁根は現れない。

　一般にA=BとA²=B²とは同値ではない。後者はA²-B²=(A-B)(A+B)=0だから、後者から二つの方程式A=BとA=-Bの解が得られる。第一の例の無縁根は方程式

の根であった。無縁根を排除する方法としては式変形ごとに、同値性を保つ条件をつければよい。

　第一の例で原方程式は

と同値であり、解を実数に限れば（無理方程式では一般にこの立場をとる）、平方根の定義からx≧3,5-x≧0したがってx≦5だから、解は5以下でなければならない。

［竹内芳男］

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