Brownian motion

Japanese: ブラウン運動 - ぶらうんうんどう（英語表記）Brownian motion

The irregular motion of colloidal particles (particles with a diameter of about microns) in a fluid (gas or liquid). It was discovered in 1827 by British botanist R. Brown, who was observing the movement of pollen particles in water under a microscope. Brownian motion initially attracted attention as it was thought to be related to life phenomena, but it was later gradually discovered to be caused by the thermal motion of molecules.

The forces acting on colloidal particles are due to random collisions with molecules. The molecules that make up a fluid are so small that it is impossible to directly observe their motion using a microscope. Brownian motion is not the thermal motion of molecules itself, but it can be said to be a visible representation of it. Brownian motion is one phenomenon that provides evidence of the thermal motion of molecules.

Brownian motion was considered from the standpoint of mechanics by Einstein. Let the mass of a particle be M and its velocity be v . In this case, the forces acting on the particle are the average effect of the impact forces at each time, the frictional force acting in the direction of decreasing the velocity is -kv , and the rest is the random force f ( t ). This gives the equation of motion for the particle as follows:

The equation of motion including random force like this is called the Langevin equation. The property of the random force f ( t ) is usually called white Gaussian noise (normal white noise). This is 〈 f ( t )〉＝0,〈 f ( t ) f ( t´ )〉＝2 D δ( t - t´ )
where <…> denotes the average over the various random processes. We also assume that there is no time correlation between the random forces. In the stationary state of this motion, the distribution of velocities is

This is the canonical distribution in thermal equilibrium at temperature T.

If we assume that it matches
D = _kB Tk
The particle diffusion coefficient is given by D _diff = D / k _2. These relationships are called Einstein's relations. This relationship means that the diffusion coefficient and the friction coefficient are not independent, and is the forerunner of what is called the fluctuation-dissipation theorem. Using this equation, the Boltzmann constant can be experimentally measured from the analysis of Brownian motion.

[Seiji Miyashita]

Mathematics

In Brownian motion, the position coordinate X ( t ) of a particle at time t is considered to be a random variable that includes t . Mathematically, Brownian motion is formulated as the following stochastic process. In other words, a stochastic process X ( t ,ω) defined in the probability space Ω that satisfies the following conditions (1), (2), and (3) is called a Wiener process. Hereafter, X ( t ,ω) will be represented as X ( t ).

(1) X ( t )∈Rd ⁽ = d - dimensional Euclidean space)
(2) For _any t1 < t2 < _... < tn _, _{for i} = 1 , 2, ..., n , X ( t2 ) - X ( _t1 ), X ( t3 ₎ - X _(t2 ₎ , ..., X ₍ tn ) - X ( tn _{- 1} ) are independent random variables.

(3) If the i- th component of X ( t ) is Xi ( t ) _, then Xi ₍ t ) (1 ≦ i ≦ d ) are independent, and the probability distribution of Xi ( t ) _-Xi ( _s ) for any t and s is the normal distribution N (0,| t - s | ) .

This Wiener process is sometimes called d -dimensional Brownian motion. The path of d -dimensional Brownian motion is continuous with probability 1, but it does not have bounded variation even in bounded intervals and has no length.

[Shigeru Furuya]

"Brownian Motion" by Tobita Takeyuki (1975, Iwanami Shoten)" ▽ "Brownian Motion" by Yonezawa Fumiko (1986, Kyoritsu Shuppan)" ▽ "Brownian Motion and Stochastic Integrals" by I. Carruthers and S. E. Shreb, translated by Watanabe Hisao (2001, Springer-Verlag Tokyo)"

[References] | Einstein | Colloids | Brown | Boltzmann constant

Brownian motion (irregular motion of colloidal particles)
©Shogakukan ">

Brownian motion (irregular motion of colloidal particles)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

流体（気体あるいは液体）中にあるコロイド粒子（直径がミクロン程度の粒子）が行う不規則運動。1827年、花粉から出た粒子の水中における運動を顕微鏡で観測していたイギリスの植物学者R・ブラウンにより発見された。ブラウン運動は、最初、生命現象と関係があると考えられ注目されたが、その後しだいに分子の熱運動によることがわかってきた。

　コロイド粒子に働く力は分子とのランダムな衝突に起因する。流体を構成する分子は非常に小さく、その運動を直接、顕微鏡などで観測することは不可能である。ブラウン運動は、分子の熱運動そのものではないが、それを目に見える形に表したものといえる。ブラウン運動は分子の熱運動を証拠づける一つの現象である。

　ブラウン運動に関する力学の立場からの考察はアインシュタインによってなされた。粒子の質量をM、速度をvとする。このとき、粒子に働く力として個々の時間に衝突する撃力の平均的効果として、速度を減ずる方向に働く摩擦力を－kvとし、それ以外をランダム力f(t)とする。これにより、粒子の運動方程式は

となる。このようにランダム力を含む運動方程式をランジュバン方程式という。ランダム力f(t)の性質として、ホワイト・ガウスノイズ（正規性白色雑音）とよばれるものが通常用いられる。これは
〈f(t)〉＝0,〈f(t)f(t´)〉＝2Dδ(t－t´)
を満たす。ここで<…>はさまざまなランダム過程に関する平均を表す。またここではランダム力間に時間的な相関がないとみなしている。この運動の定常状態では、速度の分布が

である。それが温度Tの熱平衡状態でのカノニカル分布

と一致するとすると
D＝k_BTk
の関係が導かれる。また、粒子の拡散係数はD_diff＝D/k₂で与えられる。これらの関係はアインシュタインの関係式とよばれる。この関係は、拡散係数と摩擦係数が独立ではないことを意味しており、揺動散逸定理とよばれるものの草分けとなっている。この式を利用すると、ブラウン運動の解析からボルツマン定数を実験的に測定することができる。

［宮下精二］

数学

ブラウン運動において、微粒子の時刻tにおける位置座標X(t)はtを含む確率変数と考えられる。数学的にはブラウン運動は次の確率過程として定式化される。すなわち確率空間Ωで定義された確率過程X(t,ω)で次の条件(1)、(2)、(3)を満たすものをウィーナー過程Wiener processという。以下X(t,ω)をX(t)と表す。

(1)X(t)∈R^d （＝d次元ユークリッド空間）
(2)t₁＜t₂＜……＜t_nである任意のt_i(i＝1,2,…,n)に対してX(t₂)－X(t₁),X(t₃)－X(t₂),……,X(t_n)－X(t_n-1)は確率変数として独立である。