Discriminant - discriminant

N-dimensional equation f(x)=a ₀ x ⁿ +a ₁ x ^n-1 +……+a _n =0
Let α ₁ ,α ₂ ,……,α _n be the solutions to D=a ₀ ^2(n-1) (α ₁ -α ₂ ) ²
×(α ₁ -α ₃ ) ² ……
(α ₁ -α _n ) ²
×(α ₂ -α ₃ ) ² ……
(α ₂ -α _n ) ²
×………………
×(α _n-1 -α _n ) ²
is called the discriminant for f(x)=0.

When n=2 and f(x)=ax ² +bx+c=0, let the two solutions be α and β. Then D=a ² (α-β) ² =b ² -4ac
and the solution for f(x)=0 is

This is expressed as:

When n=3 and f(x)=ax ³ +bx ² +cx+d=0, let the three solutions be α, β, and γ, and then D=a ⁴ (α-β) ² (α-γ) ² (β-γ) ²
=b ² c ² +18abcd-4ac ³ -4b ³ d
-27a ² d ²
In particular, when f(x)=x ³ +cx+d, D=-4c ³ -27d ²
And the solution for f(x)=0 is

The way to take δ is to take it to the third power.

Take one number such that x = 0, set it as δ ₀ , and create δ ₀ ω, δ ₀ ω ² (ω is the cube root of 1), which will determine the three values ​​of x.

Let α be the solution to an irreducible equation f(x)=0 with rational coefficients, and let Q(α) be the field obtained by adding α to the field of rational numbers Q. The discriminant of f(x)=0 is an integer, and its value has important significance for the number-theoretic structure of Q(α).

[Terada Fumiyuki]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

n次方程式
　　f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+……+a_n=0
の解をα₁,α₂,……,α_nとするとき
　　D=a₀^2(n-1)(α₁-α₂)²
　　　 ×(α₁-α₃)²……
　　　 (α₁-α_n)²
　　　 ×(α₂-α₃)²……
　　　 (α₂-α_n)²
　　　 ×………………
　　　 ×(α_n-1-α_n)²
をf(x)=0の判別式という。

　n=2でf(x)=ax²+bx+c=0のときは、二つの解をα、βとすると
　　D=a²(α-β)²=b²-4ac
であり、f(x)=0の解は

と表される。

　n=3でf(x)=ax³+bx²+cx+d=0のときには、三つの解をα、β、γとして
　　D=a⁴(α-β)²(α-γ)²(β-γ)²
　　 =b²c²+18abcd-4ac³-4b³d
　　　-27a²d²
とくにf(x)=x³+cx+dのときは
　　D=-4c³-27d²
でありf(x)=0の解は

と表される。δのとり方は、三乗して

となる数を一つとり、それをδ₀として、δ₀ω,δ₀ω²（ωは1の立方根）をつくればよいので、三つのxの値が定まる。

　有理数を係数とする既約方程式f(x)=0の解をαとし、有理数体Qにαを付加した体をQ(α)とする。f(x)=0の判別式は整数であり、その値はQ(α)の整数論的な構造に重要な意味をもっている。

［寺田文行］

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