Algebraic geometry

Finite polynomials (1) f _i (X ₁ ,……,X _n ) in n variables X ₁ ,……,X _n
(i=1,……,r)
For n-dimensional complex linear space C ⁿ , at point (x ₁ ,……,x _n ), f _i (x ₁ ,……,x _n )=0
(i=1,……,r)
The set V of all (x ₁ ,……,x _n ) that satisfy is called an algebraic variety determined by f ₁ ,……,f _r . The study of algebraic varieties using algebra and geometry is called algebraic geometry.

Now, if there is an algebraic variety V in C ⁿ as described above, for a polynomial h=h(X ₁ ,……,X _n ), we can obtain a map _h from V to C that maps a point (x ₁ ,……,x _n ) of V to h(x ₁ ,……,x _n ). The set of such maps C[V]={ _h |h∈C[X ₁ ,……,X _n ]} has sums and products as _h + _g = _h+g ,
_{hg = hg}
Then, it becomes a commutative ring. This ring C[V] is called the coordinate ring of V. In particular, when C[V] is an integral domain, V is called an irreducible algebraic variety.

When V is irreducible, an integer 0≦d≦n is determined that satisfies the following two conditions:

(2) If necessary, renumber X ₁ , X ₂ , …, and then, …, we see that for any polynomial F(T ₁ , …, T _d )0, F(, …,) ≠ 0, but
(3) For j such that d+1≦j≦n, by choosing the polynomial G(T ₁ ,……,T _d ,T _d+j )0 appropriately, we obtain G(,……,, )=0.

Such a d is called the dimension of an irreducible algebraic variety V. For example ^, an algebraic variety V in ^C2 determined by _X22 ^- _X13 + _X1 is irreducible and has dimension 1. In addition, the problem of whether the two ^- dimensional irreducible algebraic variety V determined by _X1n ⁺ _X2n - _X3n ( ⁿ³ ) has any points whose coordinates are nonzero integers is none other than the famous Fermat's problem.

When two points (x ₁ ,……,x _n ) (y ₁ ,……,y _n ) other than 0 in C ⁿ have proportional coordinates, such as x _i =ty _i (t≠0), and these two points are considered to be the same, then the space is called n-1-dimensional projective space P ^n-1 (C).

When f _i in (1) is a homogeneous function, the set of points P ^n-1 (C) that make f _i zero is called a projective algebraic variety. is a finite number of algebraic varieties glued together, similar to a compact topological space, and a beautiful theory has been developed.

More recently, modern algebraic geometry has expanded on a large scale and is being applied to other areas of mathematics, as seen in the theory of schemes, which considers entire submanifolds of algebraic varieties.

[Tsuneo Kanno]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

n個の変数X₁、……、X_nの有限個の多項式
（1）　f_i(X₁,……,X_n)
　　　 　(i=1,……,r)
に対し、n次元複素線形空間Cⁿの点(x₁,……,x_n)で
　　f_i(x₁,……,x_n)=0
　　　(i=1,……,r)
を満たす(x₁,……,x_n)の全体の集合Vを、f₁,……,f_rで決まる代数多様体という。代数多様体を代数学や幾何学を用いて研究する学問を代数幾何学という。

　いま、前記のようなCⁿのなかの代数多様体Vがあるとき、多項式h=h(X₁,……,X_n)に対し、Vの点(x₁,……,x_n)をh(x₁,……,x_n)に写すVからCへの写像_hが得られる。このような写像全体C［V］=｛_h|h∈C［X₁,……,X_n］｝は、和と積を
　　_h+_g=_h+g,
　　_hg=_hg
とすると、可換環になる。この環C［V］をVの座標環という。とくにC［V］が整域のとき、Vを既約代数多様体という。

　Vが既約のとき、0≦d≦nなる整数で、次の2条件を満たすものが決まる。

（2）必要ならX₁、X₂、……の番号を付け直すと、,……,はどんな多項式F(T₁,……,T_d)0に対してもF(,……,)≠0であるが、
（3）d+1≦j≦nなるjに対しては、多項式G(T₁,……,T_d,T_d+j)0をうまくとると、G(,……,, )=0となる。

　このようなdを既約代数多様体Vの次元という。たとえばX₂²-X₁³+X₁で決まるC²内の代数多様体Vは既約で次元1である。またX₁ⁿ+X₂ⁿ-X₃ⁿ（n3）で決まる二次元既約代数多様体Vが、座標が0でない整数になるような点をもつか、という問題は、有名なフェルマーの問題にほかならない。

　Cⁿから原点0=(0,……,0)を除き、0以外の2点(x₁,……,x_n)(y₁,……,y_n)がx_i=ty_i(t≠0)のように座標が比例しているとき、この2点を同じと考えたものをn-1次元射影空間P^n-1(C)という。

　（1）のf_iが同次式のとき、P^n-1(C)の点でf_iをゼロにする点全体を射影的代数多様体という。は、代数多様体を有限個糊(のり)付けしたものでコンパクト位相空間に似ており、美しい理論が完成している。

　さらに最近、代数多様体の部分多様体全体を考えて生まれたスキームの理論にみられるように、現代の代数幾何学は、大きな規模をもって発展しつつ、他の数学分野にも応用されている。

［菅野恒雄］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例