Zero - Zero (English spelling)

The number 0, which means that nothing exists. In Japanese, it is called "zero". 0 is an integer. 0 was originally discovered in India as a symbol for a missing digit in the positional notation system, that is, an empty digit, in ancient times (one theory goes back to the 5th or 6th century AD), and it was later used as a number. In the decimal notation system, 1234 represents one thousand, two hundred and thirty-four, and the digits 1, 2, 3, and 4 represent different sizes depending on their position. In other words, the first 1 represents 1 in the thousands digit (1000), the next 2 represents 2 in the hundreds digit (200), the 3 represents 3 in the tens digit (30), and the 4 represents 4 in the ones digit (4). In this positional notation system, if you simply leave an empty digit like 1 34 to represent the missing digit in the hundreds digit, it is unclear what digit the first 1 represents, and there is a risk of making a mistake. Therefore, if we think of 0 as a symbol that clearly represents an empty place and use it, there will be no confusion, like 1034. In this way, the 0 that represents an empty place is essential to the positional notation. In the decimal positional notation, any integer or decimal can be expressed using the 10 digits 1, 2, ..., 9, and 0.

What other advantages does the positional notation have, which is a simple and clear way of expressing numbers? First, no new symbols are needed when moving to higher digits. For example, in Chinese numerals, we have 100, 1,000, 1,000, 100, and 1000, and in Roman numerals, we have X (10), C (100), M (1000), and so on. In non-positional notation, new numbers are needed one after another, but in the positional notation, no new symbols are needed. Second, we can see at a glance whether the numbers are large or small. Third, and most importantly, it makes calculations easier. With numbers expressed in a non-positional notation, addition and subtraction are not so difficult, but multiplication and division become complicated and unmanageable. For example, in medieval Europe, calculations were the job of people called calculation masters, and in Japan, calculations were left to the abacus. However, with numbers expressed in the positional notation, the method of calculation is easy to understand, and anyone can understand it. The positional notation system using zero was transmitted from India via Arabia to Europe, and so the name Arabic numerals remains.

The number 0 has the following properties: In addition, for any number a, a+0=0+a=a. In subtraction, aa=0, a-0=a. In multiplication, for any number, a×0=0×a=0. In division, for any non-zero number a, 0÷a=0, but you cannot divide by 0. If we expand the range of numbers to negative numbers, 0 is the number on the boundary between positive and negative numbers, smaller than any positive number and greater than any negative number.

[Tatsuro Miwa]

"The Discovery of Zero" by Yoichi Yoshida (Iwanami Shinsho)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

何も存在しないことを表す数0のこと。日本語では零という。0は整数である。0は、もともと位取り記数法で、ある位が欠けていること、つまり、空位を表す記号としてインドで非常に古い時代に発見され（一説には紀元5～6世紀）、その後、数として取り扱われるようになったという。十進位取り記数法(じっしんくらいどりきすうほう)では1234と書けば、千二百三十四を表し、1、2、3、4の数字はその置かれている位置によって、違った大きさを表している。つまり、最初の1は千の位が1であること（1000）、次の2は百の位が2であること（200）、3は十の位が3であること（30）、4は一の位が4であること（4）を表している。この位取り記数法で、たとえば、百の位が欠けていることを表すのに、1 34と空位をあけておくだけにすると、最初の1がなんの位かはっきりせず、誤るおそれがある。そこで、空位をはっきりと表す記号として0を考え、それを使うことにすると、1034のように紛れがなくなる。このように、位取り記数法には空位を表す0が必要不可欠である。十進位取り記数法では、1、2、……、9、と0の10個の数字を使って、どんな整数も小数も表すことができる。

　簡潔で明らかな表し方である位取り記数法は、ほかにどんな利点があるかといえば、それはまず第一に、上の桁(けた)へ移っても新しい記号が不要であること。たとえば、漢数字では、百、千、万、億、兆、またローマ数字では、X(10),C(100),M(1000)のように、位取りでない記数法は次々と新しい数字が必要となるのに、位取り記数法では必要としない。第二は、表された数の大小をひと目で知ることができること。第三の、そしてもっとも重要なのは、計算が容易になることである。位取りでない記数法で表された数について、加減の計算はそれほどでもないにしても、乗除になると複雑になり、手に負えなくなる。たとえば、中世ヨーロッパでは計算は計算親方といわれる人の仕事であったし、日本では計算はそろばんに任されていたのである。ところが位取り記数法で表された数では、計算の仕方がわかりやすく、だれにでも理解できるものとなった。0を用いた位取り記数法は、インドからアラビアを経てヨーロッパに伝わったので、アラビア数字の名が残っている。

　数としての0は次の性質がある。加法において、どんな数aについても、a+0=0+a=aとなる。減法ではa-a=0,a-0=aとなる。乗法においては、どんな数についてもa×0=0×a=0となる。除法では0でない数aについて0÷a=0となるが、0で割ることはできない。数の範囲を負の数まで広げると、0は正の数と負の数の境目にあたる数で、どの正の数よりも小さく、また、どの負の数よりも大きい数である。

［三輪辰郎］

『吉田洋一著『零の発見』（岩波新書）』

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