Oscillating plane

Japanese: 接触平面 - せっしょくへいめん（英語表記）osculating plane

_A plane defined by the tangent and principal normal at a point P on a space curve C. Let us express the space curve using the vector equation x = x ( t ) ₍ a ≦ t ≦ q ), and let the points corresponding to t0 _, t0 + h , and t0 + k be P( t0 ), Q( t0 ₊ h ), and R( t0 + k ), respectively _. If we define a plane passing through these three points _, fix P, and allow Q and R to approach P ( h and k to 0), and if the plane defined by P, Q, and R approaches a certain plane, then the plane defined as the limit plane is called the tangent plane of the curve C at P( t0 ) _. Now, if x , x ( t0 ), x ′( t0 ), and _x ^″ ( t0 ) are vectors, the equation of the contact plane can be expressed _as follows in vector form _:

| x − x ( t ₀ ) x ′( t ₀ ) x ^'' ( t ₀ ) | = 0

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Japanese:

空間曲線 C 上の1点Pにおける接線と主法線とによって定まる平面をいう。空間曲線をベクトル方程式を用いて x＝x(t)　(a≦t≦q) で表わし，t₀ ，t₀＋h ，t₀＋k に対応する点をそれぞれ P(t₀) ，Q(t₀＋h) ，R(t₀＋k) とする。ここでこれらの3点を通る平面を定め，Pを固定して，QおよびRをPに ( h と k を0に) 限りなく近づけるとき，P，Q，Rによって定められた平面が，ある一定の平面に近づくならば，その極限の平面として定まる平面を，P(t₀) における曲線 C の接触平面という。いま，x ，x(t₀) ，x′(t₀) ，x^''(t₀) をベクトルとすれば，接触平面の方程式はベクトル表示により

｜x－x(t₀)　x′(t₀)　x^''(t₀)｜＝0

で与えられる。

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