Normal distribution

The probability density is

A probability distribution where is called a normal distribution or a Gaussian distribution. The mean of a normal distribution is m, its variance is ^σ2 , and its characteristic function is exp(imt-(1/2) ^σ2t2 ). This normal distribution is represented as N(m, ^σ2 ). In particular, when m ⁼ 0,σ=1, that is, N(0,1), is called the standard normal distribution.

A curve showing the probability density of the normal distribution N(m,σ ² )

The graph of is symmetrical with respect to the line x=m, has a maximum value of 1/σ at x=m, and has an inflection point at x=m±σ. When the probability distribution of the random variable X is N(m,σ ² ),

Then, the probability distribution of Z becomes the standard normal distribution. Therefore, the calculation of probability regarding normal distribution is reduced to the case of standard normal distribution. In other words, the probability that X is between a and b is

This is equal to the probability that Z is between α and β. That is,
P(a≦X≦b)=P(α≦Z≦β)The probability value on the right hand side of this can be obtained using a normal distribution table.

When the distribution of the random variable Z is the standard normal distribution, for x ≥ 0,

A table of the values ​​of x has been created. Φ(x) represents the area of ​​the blue part in Figure B. This table is called a normal distribution table.

Since the graph is symmetrical with respect to the y-axis, we can use a normal distribution table to find the value of P(α≦Z≦β) for given α,β(α＜β). That is,
When α＜β＜0, P(α≦Z≦β)
=Φ(-β)-Φ(-α)
When α＜0＜β, P(α≦Z≦β)
=1-Φ(-α)-Φ(β)
When 0<α<β, P(α≦Z≦β)
=Φ(α)-Φ(β)
When two random variables _X1 and _X2 are independent and their probability distributions are both normal distributions N(m, ^σ2 ), the probability distribution _{of c1X1} + _c2X2 ( _c1 and _c2 are constants) is N( _{( c1} + _c2 )m, ^σ2 ( _c12 + _c22 ⁾ ). This is a characteristic of normal distribution. When two random variables ^X1 _{and X2} with the same distribution function F(x) are independent and the distribution function _{of c1X1} + _c2X2 is F(cx) for some c, F(x) is called a stable distribution function. If F(x) is a stable distribution function _with finite variance, then F(x) is a normal distribution function.

Let A = (a _ij ) be the n-dimensional normal distribution, and Δ = detA be the n-dimensional positive definite symmetric matrix. The n-dimensional probability density is

The n-dimensional probability distribution given by is called the n-dimensional normal distribution.

Here are some famous examples of normal distribution. Quetelet confirmed that the distribution of heights of adult males is normal. Maxwell found that the distribution of the velocity of gas molecules can be expressed as a normal distribution. Gauss also found that the distribution of random errors is normal. Due to Gauss's contribution to normal distribution, normal distribution is also called Gaussian distribution. Poincaré's book "Calcul des probabilités" contains an interesting description of observations and theories on error distribution. "If you ask an experimentalist, he will answer that in many cases it follows normal distribution, but sometimes it does not. This is because the observations were insufficient, and that it should naturally follow normal distribution as mathematicians have proven. If you ask a mathematician, he will answer that it has not been mathematically established, but that it has been established by experiment." The mathematical formulation of this problem was not completed until the 20th century, when the central limit theorem was established for the problem of the sum of random variables.

[Shigeru Furuya]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

確率密度が

である確率分布を正規分布またはガウス分布という。正規分布の平均値はm、分散はσ²であり、特性関数はexp(imt-(1/2)σ²t²)である。この正規分布をN(m,σ²)と表す。とくに、m=0,σ=1の場合、すなわちN(0,1)を標準正規分布という。

　正規分布N(m,σ²)の確率密度を表す曲線

のグラフは図Aのように、直線x=mに関して対称であり、x=mで最大値1/σをとり、x=m±σにおいて変曲点をもつ。確率変数Xの確率分布がN(m,σ²)であるとき、

と置けば、Zの確率分布は標準正規分布となる。したがって正規分布に関する確率の計算は標準正規分布の場合に帰着される。すなわち、Xがaとbとの間にある確率は

と置くと、Zがαとβとの間にある確率に等しい。すなわち、
　　P(a≦X≦b)=P(α≦Z≦β)この右辺の確率の値は正規分布表によって求めることができる。

　確率変数Zの分布が標準正規分布であるとき、x≧0に対する

の値の表が作成されている。Φ(x)は図Bの青色部分の面積を表している。この表を正規分布表という。

のグラフはy軸に関して対称であるから、正規分布表を用いると、与えられたα,β(α＜β)に対してP(α≦Z≦β)の値を求めることができる。すなわち、
　　α＜β＜0のとき
　　　P(α≦Z≦β)
　　　　=Φ(-β)-Φ(-α)
　　α＜0＜βのとき
　　　P(α≦Z≦β)
　　　　=1-Φ(-α)-Φ(β)
　　0＜α＜βのとき
　　　P(α≦Z≦β)
　　　　=Φ(α)-Φ(β)
　二つの確率変数X₁、X₂が独立で、その確率分布がいずれも正規分布N(m,σ²)であるときc₁X₁+c₂X₂（c₁、c₂は定数）の確率分布はN((c₁+c₂)m,σ²(c₁²+c₂²))である。これは正規分布の一つの特性である。同一の分布関数F(x)をもつ二つの確率変数X₁、X₂が独立であってc₁X₁+c₂X₂の分布関数があるcに対してF(cx)となる場合、F(x)を安定な分布関数という。F(x)が安定な分布関数で分散が有限であれば、F(x)は正規分布の分布関数である。

　n次元正規分布A=(a_ij)をn次正値対称行列、Δ=detAとして、n次元確率密度が

で与えられるn次元確率分布をn次元正規分布という。

　正規分布の有名な実例をあげよう。ケトレーは成年男子の身長の分布が正規分布になっていることを確かめた。マクスウェルは気体分子の速度の分布が正規分布で表されることをみいだした。またガウスは偶然誤差の分布が正規分布であることをみいだした。正規分布に対するガウスの貢献によって正規分布はガウス分布ともよばれている。ポアンカレの著書『Calcul des probabilités』には誤差の分布についての観測と理論に関する興味深い記述がある。「実験家に聞けば、多くの場合正規分布に従うがそうでないこともある。そうでないのは観測が不十分であったためで、数学者が証明しているように当然正規分布に従うはずであると答える。また数学者に聞くと、それは数学的に確立されたのではない。実験によってそうなっているのだと答える」。この問題の数学的定式化は、20世紀に入って確率変数の和の問題について中心極限定理が確立されて初めて完成した。

［古屋　茂］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例