Set theory - shuugouron

Japanese: 集合論 - しゅうごうろん

A branch of mathematics created by Cantor between 1874 and 1897. He defined a set as follows: "A set is a whole M consisting of all the clearly defined and clearly distinguishable objects m of our intuition or contemplation. m is called an element of M." A set can also be defined as the whole of objects that satisfy a given property. The concept of a set is a broad concept, and when used without limits, it causes paradoxes. It was found that the paradoxes could be avoided by axiomatic methods, or by distinguishing very large sets with the concept of "classes," which is different from sets.

[Toshio Nishimura]

Basic Concepts

The most basic concept in set theory is that an object m is an element of a set M (written as m∈M). A set that does not contain any elements is called the empty set and is represented by ∅. {a, b,……, m,……} represents a set whose elements are a, b,……, m,……. Two sets a and b that consist of the same elements are considered to be the same set and represented by a = b. When all elements of a are elements of b, a is said to be a subset of b and represented by a ⊂ b. Mathematical concepts can be logically constructed from sets and the relationship between sets a∈b. For example, the natural numbers 0, 1, 2,…… are defined as the sets ∅, {∅}, {∅, {∅}},……, respectively. In general, the ordinal number α is defined as the set of all ordinal numbers smaller than α, and the greater-less relationship α<β is defined as α∈β. If the ordered pair (a, b) is the set {{a}{ab}}, then when (ab) = (cd), a = c and b = d. Given sets A and B, let AB be the set consisting of all ordered pairs (ab) of element a of A and element b of B, and it is called the Cartesian product of A and B. If A and B are all real numbers on the x-axis and y-axis, respectively, then AB is all coordinates of points on a plane. Let N be the set of all natural numbers. Suppose that m, n∈N, and there is a greater-lesser relationship between m and n, m＜n, that is, m∈n. Let E be the set consisting of all ordered pairs (x, y) such that x∈y and x, y∈N, then m＜n means (m, n)∈E, and E⊂NN.

In this way, if we consider the relationship between elements of set A to be the set R, R ⊂ AA, then "relation" is also a set concept. Regarding the relationship a<b between elements of set A, we will write a≦b when a<b or a=b. For any two elements x and y in A, if x≦y or y≦x holds, and if x≦y and y≦x then x=y, and if x≦y and y≦z then x≦z, then the relationship (<) is called the order of A. When such an order exists between the elements of set A, A is called an ordered set. If we consider the function F(a)＝b, which maps elements of set A to elements of set B, as (a, b)∈F, then F is a set F such that F⊂AB, and "function" is also a set concept. In the case of functions, it is often required that if F(a)＝b and F(a)＝c then b＝c. In addition to uniqueness, if F satisfies the condition that if F(a) = c and F(b) = c then a = b, then F is said to have a one-to-one correspondence. A one-to-one correspondence between sets A and B means that there is a function F such that each element of A corresponds to exactly one element of B, and each element of B corresponds to exactly one element of A. If there is a one-to-one correspondence between A and B, then A and B are said to have the same cardinality, which can be written as =. If there is no one-to-one correspondence between A and B, but there is a one-to-one correspondence between a subset of B and A, then the cardinality of B is said to be greater than the cardinality of A, which can be written as <. The cardinality of A is a concept equivalent to the number of elements in A, and is an extension of the concept of number to a general infinite set.

If n is a natural number, then n is the set consisting of all natural numbers smaller than n. A set that has a one-to-one correspondence with n is called a finite set with cardinality n, while a set that does not is called an infinite set. A set that has a one-to-one correspondence with N is called a countably infinite set. Its cardinality can be written as ℵ ₀ (ℵ is the Hebrew letter aleph, and ℵ ₀ is pronounced aleph-zero). Let A be any set, and the set consisting of all of A's subsets is called the power set of A and denoted by P(A). In this case, the cardinality of P(A) is greater than the cardinality of A. This is called Cantor's theorem. If N is the set consisting of all natural numbers, then

and the cardinality of infinite sets also has infinite stages. The cardinality of the set of all real numbers is equal to the cardinality of P(N), written as ℵ, and is called the cardinality of the continuum. If A is an ordered set and every subset of A has a minimal element, then A is said to be a well-ordered set. Any set of ordinals is a well-ordered set according to the relationship between the ordinals. As an extension of mathematical induction on natural numbers, it is possible to prove that "Let α be any ordinal number. Suppose that proposition P(β) holds for all β with β<α, and P(α) can be proven. Then P(x) holds for all ordinals x." This is called transfinite induction. The elements of a well-ordered set A can be ordered by their ordinals as a ₀ , a ₁ , a ₂ ,……, a _ω , a _ω+1 ,……. Using the axiom of choice described later, it is possible to prove that "any set A can be made into a well-ordered set by giving an appropriate order to the elements of A." This is called the well-orderable theorem. Using this axiom, we can also see that the cards are well-ordered sets in the order of their sizes. _ℵ0 is the smallest infinite cardinality, and α is an ordinal number, so we write the α-th infinite cardinality as _ℵα . _ℵ0 < _ℵ1 < _ℵ2 < ... < _ℵα < .... In this case, the question of "what ℵα is _ℵ? " is called the continuum problem, and is a fundamental and important problem in set theory. Gödel proved that assuming ℵ≠ _ℵ1 does not contradict Zermelo-Fraenkel axiomatic set theory (1938), and Cohen proved that assuming ℵ≠ _ℵ1 does not contradict it (1963).

[Toshio Nishimura]

Axiomatic Set Theory

Zermelo (1908) was the first to give a set theory axiom system. This axiom system was later expanded and refined to become what is now called Zermelo-Fraenkel axiomatic set theory. In this system, the two concepts "x is a set" and "y∈x" are treated as undefined concepts. The axioms are given below.

(1) The empty set exists.

(2) Sets x and y that have the same elements are the same set. This is called the axiom of extensionality.

(3) For sets x and y, {x, y} is a set.

(4) For a set x, there exists a set y such that u∈y and u∈z∈x. This gives the union y of the sets that are elements of the family of sets x.

(5) For a set x, there exists a power set.

(6) For a set x and a proposition A(u), there exists a set y such that u∈y such that u∈x and A(u). This is called the separation axiom.

(7)Let A(u, v) be a proposition, and for any u, v, and w, if A(u, v) and A(u, w), then v = w. Then, for any set x, there exists a set y, and z∈y means that there exists a u such that u∈x and A(u, z). This asserts that a unique mapping y of set x exists as a set, and was introduced by Frenkel (1922). This is called the substitution axiom.

(8) There exists a non-empty set x, and if v∈x then there exists a w such that v⊂w and v≠w, and this x contains an infinite number of elements. This is called the infinity axiom.

(9)Let A(u) be the proposition. If there exists an x such that A(x), then there exists an x such that A(x) is satisfied and no y ∈ x satisfies A(y). This axiom is equivalent to the absence of an infinite descending sequence such as …∈x ₃ ∈x ₂ ∈x ₁ under the following axiom of choice, and is called the axiom of regularity.

(10)Let x be a family of sets, each of whose elements is not the empty set, and no two elements of x have an intersection. Then there exists a set y that contains exactly one element of each element of x. This set y is called the choice set of x, and this axiom is called the axiom of choice. It was introduced as an axiom by Zermelo (1904). It is used to prove many theorems in mathematics, but the use of this axiom is controversial.

Since there are infinitely many propositions A(u) in axioms (6) and (9) and A(u, v) in (7), each of these axioms is made up of an infinite number of axioms.

[Toshio Nishimura]

"Introduction to Set Theory" by Hideyuki Matsumura (1974, Asakura Publishing)" ▽ "Set Theory" by Kanji Nanba (1977, Science Press)" ▽ "Axio Nishimura and Kanji Nanba "Axiomatic Set Theory" (1985, Kyoritsu Publishing)"

[Reference] | Functions | Concentration

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

1874～1897年にカントルによってつくられた数学の一分野。彼は集合を次のように定義した。「集合とは、明確に定義され、かつ互いに明確に弁別できるわれわれの直観あるいは思惟(しい)の対象mを、一つの全体にまとめたものMのことである。mをMの元(げん)という」。集合は、与えられた性質を満たす対象の全体としても定義できる。集合概念は広い概念で、無制限に用いるとパラドックスを引き起こす。公理的な方法、あるいは非常に大きい集合を、集合とは異なる「類」という概念で区別することによって、パラドックスは避けられることがわかった。

［西村敏男］

基本概念

集合論のもっとも基本的な概念は、対象mが集合Mの元である（m∈Mと書く）ということである。元を含まない集合を空(くう)集合といい∅で表す。｛a, b,……, m,……｝によってa, b,……, m,……を元とする集合を表す。同じ元からなる二つの集合aとbは同じ集合と考えa＝bによって表す。aの元がすべてbの元であるときaはbの部分集合であるといいa⊂bで表す。数学の諸概念は集合と集合間の関係a∈bから論理的に構成できる。たとえば自然数0, 1, 2,……はそれぞれ集合∅,｛∅｝,｛∅,｛∅｝｝,……と定義される。一般に順序数αはαより小さい順序数全体の集合と定義し、その大小関係α＜βをα∈βのこととする。順序対(a, b)を集合｛｛a｝｛ab｝｝のこととすれば、(ab)＝(cd)のときa＝cかつb＝dとなる。集合AとBに対し集合ABを、Aの元aとBの元bの順序対(ab)全体からなる集合とし、AとBの直積(ちょくせき)という。A、Bをそれぞれx軸上、y軸上の実数の全体とすれば、ABは平面上の点の座標の全体となる。Nを自然数全体の集合とする。m, n∈Nなるmとnの間に大小関係m＜nすなわちm∈nが成り立つとする。Eをx∈yでx, y∈Nであるような順序対(x, y)の全体からなる集合とすれば、m＜nとは(m, n)∈Eのことであり、E⊂NNである。

　このように、集合Aの元の間の関係とは、R⊂AAという集合Rのことと考えれば、「関係」も集合概念になる。集合Aの元の間の関係a＜bについて、a＜bかa＝bのときa≦bと書くことにする。Aの任意の二元xとyについてx≦yかy≦xが成り立ち、x≦yかつy≦xのときx＝yで、x≦yかつy≦zのときx≦zが成り立つとき、関係（＜）をAの順序という。集合Aの各元の間にこのような順序があるときAを順序集合という。集合Aの元を集合Bの元に対応させる関数F(a)＝bは(a, b)∈Fと考えれば、F⊂ABとなるような集合Fのことで、「関数」も集合概念になる。関数の場合には、F(a)＝bかつF(a)＝cならばb＝cという一意性を要求する場合が多い。一意性のほかにF(a)＝cかつF(b)＝cならばa＝bという条件を満たせば、Fは一対一の対応といわれる。集合AとBの間に一対一対応があるというのは、Aの各元にBのちょうど一つの元が、Bの各元にAのちょうど一つの元が対応するような関数FがあるということであるAとBの間に一対一対応があれば、AとBとは同じ濃度をもつといい＝と書く。AとBの間の一対一対応はないが、Bの部分集合とAの間に一対一対応があれば、Bの濃度はAの濃度より大きいといい＜と書く。Aの濃度とはAの元の個数に相当する概念で、個数の概念を一般の無限集合にまで拡張したものである。

　nを自然数とすればnはnより小さい自然数全体からなる集合である。nと一対一対応のある集合を濃度nの有限集合、そうでない集合を無限集合という。Nと一対一対応のある集合を可算無限集合という。その濃度をℵ₀と書く（ℵはヘブライ文字アレフで、ℵ₀はアレフゼロと読む）。Aを任意の集合とし、Aの部分集合の全体からなる集合をAのべき集合といいP(A)と書く。このときP(A)の濃度はAの濃度より大きい。これをカントルの定理という。Nを自然数全体からなる集合とすれば、

であり、無限集合の濃度にも無限の段階がある。実数の全体からなる集合の濃度はP(N)の濃度と等しく、これをℵと書き、連続体の濃度という。Aが順序集合であって、Aのどの部分集合にも最小元があるとき、Aは整列集合であるという。順序数の任意の集合は、順序数の大小関係で整列集合である。自然数に関する数学的帰納法の拡張として、「αを任意の順序数とする。β＜αなるすべてのβに対して命題P(β)が成り立つと仮定してP(α)が証明できるとする。このときすべての順序数xに対してP(x)が成り立つ」ことが証明できる。これを超限帰納法という。整列集合Aの各元は順序数によってa₀, a₁, a₂,……, a_ω, a_ω+1,……のように並べることができる。後述する選択公理を用いると、「任意の集合Aは、適当な順序をAの元の間に与えることによって整列集合にすることができる」ことが証明できる。これを整列可能定理という。またこの公理を用いると、濃度もその大小の順序で整列集合であることがわかる。ℵ₀が最小の無限濃度で、αを順序数としてα番目の無限濃度をℵ_αと書く。ℵ₀＜ℵ₁＜ℵ₂＜……＜ℵ_α＜……となる。このとき「ℵがどのℵ_αになるか」という問題を連続体問題といい、集合論の基本的な重要問題であった。ゲーデルはℵ≠ℵ₁と仮定してもツェルメロ‐フレンケルの公理的集合論と矛盾しないことを証明（1938）、コーエンはℵ≠ℵ₁と仮定しても矛盾しないことを証明した（1963）。

［西村敏男］

公理的集合論

集合論の公理系を最初に与えたのはツェルメロである（1908）。その後この公理系は拡張され整備されて、今日ツェルメロ‐フレンケルの公理的集合論とよばれるものになった。ここでは「xは集合である」と「y∈x」という二つの概念は未定義概念として扱われる。次にその公理を与える。

(1)空集合が存在する。

(2)同じ元をもつ集合xとyは同じ集合である。これを外延性の公理という。

(3)集合xとyに対して｛x, y｝は集合である。

(4)集合xに対し集合yが存在して、u∈yとはu∈z∈xとなるような集合zが存在することである。これは集合族xの元である集合の和集合yを与えるものである。

(5)集合xに対しそのべき集合が存在する。

(6)集合xと命題A(u)に対して集合yが存在して、u∈yとはu∈xかつA(u)なることである。これを分出公理という。

(7)A(u, v)を命題とし、任意のu、v、wについてA(u, v)かつA(u, w)ならばv＝wとする。このとき任意の集合xに対し集合yが存在して、z∈yとはu∈xかつA(u, z)であるuが存在することである。これは集合xの一意写像yが集合として存在することを主張するもので、フレンケルによって導入された（1922）。これを置換公理という。

(8)空でない集合xが存在して、v∈xならばw∈xなるwでv⊂wかつv≠wとなるwが存在する。このxは無限個の元を含むことになる。これを無限公理という。

(9)A(u)を命題とする。A(x)となるxが存在すれば、A(x)を満たすxで、y∈xなるどのyもA(y)を満たさないようなxが存在する。この公理は次の選択公理のもとでは、……∈x₃∈x₂∈x₁のような無限下降列が存在しないことと同等であり、正則性の公理という。

(10)xを集合族としその各元は空集合でなく、xのどの二元も共通部分をもたないとする。このとき、xの各元のちょうど一つずつの元を含むような集合yが存在する。この集合yをxの選択集合といい、この公理を選択公理という。これはツェルメロによって公理として導入された（1904）。数学の多くの定理の証明に用いられるが、この公理の使用には論議が多い。

　公理(6)と(9)の命題A(u)と(7)の命題A(u, v)は無限個あるので、これらの公理はそれぞれ無限個の公理からできている。

［西村敏男］

『松村英之著『集合論入門』（1974・朝倉書店）』▽『難波完爾著『集合論』（1977・サイエンス社）』▽『西村敏男・難波完爾著『公理論的集合論』（1985・共立出版）』

[参照項目] | 関数 | 濃度

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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