Natural numbers

Natural numbers are numbers used to count things or indicate order, such as 1, 2, 3, etc. They can also be called positive integers. Natural numbers play two roles: they represent the number of things in a collection, and they also represent the order within that collection. The former is sometimes called a set number, and the latter an ordinal number. The operation of counting a collection of things involves assigning natural numbers to each item, one by one, starting from 1 (determining the order), and then determining the final natural number, which allows you to find the number of items.

Natural numbers are constructed by starting with 1 and adding 1 one after another. Therefore, there are an infinite number of natural numbers. It was Peano who established this theoretically based on axioms. Peano's axioms consist of the following five points.

[1] 1 is a natural number.

[2] For every natural number x, there exists a natural number called its successor, x '.

[3] If x ' = y ', then x = y .

[4] When x is a natural number, x ' cannot be 1.

[5] If a subset M of natural numbers satisfies the following conditions (1) and (2), then M is equal to the set of all natural numbers.

(1)1 belongs to M.

(2) If x belongs to M , then x ′ also belongs to M.

The last point, [5], is the principle of mathematical induction. Based on this, we can determine the calculation of natural numbers.

From a calculation standpoint, natural numbers can be said to be closed under addition and multiplication. In other words, the sum and product of any two natural numbers is a natural number. However, when you subtract one from the other, the quotient when you divide one by the other is not necessarily a natural number. In other words, natural numbers are not closed under subtraction and division. Integers are the natural numbers that are expanded to make them closed under subtraction, and positive fractions are the natural numbers that are closed under division.

[Tatsuro Miwa]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

1、2、3、……のように、ものを数えたり、順番を示したりするのに使われる数をいう。これは、正の整数ということもできる。自然数は、ものの集まりの多さを表し、また、集まりのなかでの順序を表すという二つの役割を果たす。前者の場合を集合数、後者の場合を順序数ということがある。ものの集まりを数えるという操作はその一つ一つのものに、自然数を1から順に一つずつ対応させていき（順番を決めることになる）、最後の自然数を決めるということであって、これによって、個数が求められる。

　自然数は、1から始めて1を次々に加えていって構成される。したがって、自然数は限りなくある。このことを公理に基づいて理論的に確立したのがペアノである。ペアノの公理は、次の五つからなる。

〔1〕1は自然数である。

〔2〕どんな自然数xに対しても、その後者とよばれる自然数x′が一つ存在する。

〔3〕x′＝y′ならば、x＝yである。

〔4〕xが自然数のとき、x′が1になることはない。

〔5〕自然数の部分集合Mが、次の条件(1)(2)を満たすならば、Mは自然数全体の集合と一致する。

　(1)1はMに属する。

　(2)xがMに属するならば、x′もMに属する。

　最後の〔5〕は、数学的帰納法の原理となるものである。これを基にして、自然数の計算などを定めていくことができる。

　計算の面からみると、自然数は、加法と乗法について閉じているといえる。つまり、どんな二つの自然数をとっても、その和と積は自然数になる。ところが、二つの自然数について、一方から他方を引くと自然数になるとは限らないし、一方を他方で割ったときの商は自然数になるとは限らない。つまり、自然数は、減法と除法について閉じていない。自然数を広げて、減法について閉じるようにしたのが整数であり、除法について閉じるようにしたのが正の分数である。

［三輪辰郎］

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