Trail - Miracle

Japanese: 軌跡 - きせき

A figure F formed by a set of points that satisfy a given condition C is called the locus of condition C. The locus is usually a line or a surface, but it can also be a plane, a region in space, or the empty set. Theoretically, when the locus of points that satisfy condition C is a figure F, it means two things: (1) the points that satisfy C belong to F. (2) the points that belong to F belong to C.

[Minoru Kurita]

Main trajectories on a plane

There are the following types of loci on a plane ( Figure ). (1) The locus of points at a certain distance r from a point O is a circle (circumference) of radius r with O as its center. (2) The locus of points equidistant from two points A and B is the perpendicular bisector of the line segment AB. (3) The locus of points with a certain distance to a fixed line l is two straight lines parallel to l . (4) The locus of points inside an angle with equidistant distances to both sides of the angle is the bisector of this angle. (5) The locus of points at a certain angle to the line segment AB is two circular arcs with AB as a chord. (6) When m and n are different positive numbers, the locus of points whose distances from two points A and B are m to n is a circle (circumference) whose diameter is the point that divides the line segment AB internally and externally in this ratio (Apollonius' circle). (7) If the distance between two points F and F' is c , then the locus of points whose sum of distances from F and F' is a constant greater than c is an ellipse with F and F' as foci. Also, the locus of points whose difference in distance from F and F' is a constant less than c is a hyperbola with F and F' as foci. (8) The locus of points whose distances to a line l that does not pass through a point F are equal is a parabola with F as a foci and l as a directrix.

[Minoru Kurita]

Trajectories in Space

(1) The locus of points at a certain distance r from a point O is a sphere of radius r centered at O. (2) The locus of points equidistant from two points A and B is the perpendicular bisector of the line segment AB. (3) The locus of points at a certain distance from a plane p is two planes parallel to p . (4) The locus of points equidistant to a dihedral angle (two half-planes sharing a half-line) is the plane that bisects this dihedral angle. (5) The locus of points viewed at right angles to a certain line segment AB is a sphere with AB as its diameter.

[Minoru Kurita]

Coordinates and trajectories

On a coordinate plane, if the locus of points with x and y as rectangular coordinates that satisfy an x , y equation is a figure F, then this equation is said to represent F. A linear equation in x and y represents a line. In space, a linear equation in the rectangular coordinates x , y , and z represents a plane.

[Minoru Kurita]

Major trajectories on a plane (figure)
©Shogakukan ">

Major trajectories on a plane (figure)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

与えられた条件Cに適する点の集合のつくる図形Fを、条件Cの軌跡という。軌跡は普通、線や面であるが、平面上や空間の領域や空集合になることもある。理論的にいうと、条件Cに適する点の軌跡が図形Fであるというのは、次の二つのことを意味する。(1)Cに適する点はFに属する。(2)Fに属する点はCに適する。

［栗田　稔］

平面上のおもな軌跡

平面上の軌跡には、以下のようなものがある（図）。(1)1点Oから一定の距離rにある点の軌跡は、Oを中心とする半径rの円（円周）である。(2)2点A、Bからの距離が等しい点の軌跡は、線分ABの垂直二等分線である。(3)定直線lへの距離が一定である点の軌跡は、lに平行な2直線である。(4)角の内部にあって角の2辺への距離が等しい点の軌跡は、この角の二等分線である。(5)線分ABを一定の角に見る点の軌跡は、ABを弦とする二つの円弧である。(6)m、nが異なる正数のとき、2点A、Bからの距離の比がm対nである点の軌跡は、線分ABをこの比に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（円周）である（アポロニウスの円）。(7)2点F、F′の距離がcのとき、F、F′からの距離の和がcより大きい定数である点の軌跡は、F、F′を焦点とする楕円(だえん)である。また、F、F′からの距離の差がcより小さい定数である点の軌跡は、F、F′を焦点とする双曲線である。(8)1点Fと、これを通らない直線lへ至る距離が等しい点の軌跡は、Fを焦点、lを準線とする放物線である。

［栗田　稔］

空間における軌跡

(1)1点Oから一定の距離rにある点の軌跡は、Oを中心とする半径rの球面である。(2)2点A、Bから等距離にある点の軌跡は、線分ABの垂直二等分面である。(3)1平面pから一定の距離にある点の軌跡は、pに平行な2平面である。(4)二面角（半直線を共有する二つの半平面）への距離が等しい点の軌跡は、この二面角を2等分する平面である。(5)一定の線分ABを直角に見る点の軌跡は、ABを直径とする球面である。

［栗田　稔］