Space curve

Japanese: 空間曲線 - くうかんきょくせん（英語表記）space curve

A space curve is a curve contained in ordinary space, i.e., three-dimensional Euclidean space. A Cartesian coordinate system O- xyz is defined within the space. A curve can be considered as the locus of a point P moving within this space, so if a fixed point is taken as the origin O and the position vector of any point on this locus is taken as x , then x can be considered as a function of the parameter t ( a ≦ t ≦ b ₎ . Therefore, a space curve can be expressed as a function of the form x ₌ x ( t ). If the components of vectors x _and x ( t ) are expressed _as ( x1 , x2 , x3 ) and ( x1 ( t ₎ , x2 ( t ), x3 ( t )), respectively, the curve can also be written _as x1 ₌ x1 ( t ), x2 ₌ x2 (t ₎ _, x3 ₌ x3 ( t ₎ . The above representation of a curve is called a parametric representation of the curve. If we think of the curve as the locus of a moving point P, the parameter t can be considered to be the time, and x ( t ) _or ( x1 ₍ t ), x2 ( t ), x3 ( t )) can be considered _to be the position of point P at time t . If x = x ( t ) is a curve in a space with a defined coordinate system (sometimes called a number space), then x1 = x1(t), x2 = x2(t), and x3 ₌ x3 ( t ) _are all _continuous functions _, _and in particular _, if all of these have continuous derivatives, then the curve x = x ( t ) is said to be a smooth curve. In differential geometry, if the three functions x _i = x _i ( t ) ( i = 1, 2, 3) representing a curve C are all (1) single-valued functions that are continuous in the interval a ≦ t ≦ b , (2) have r- th order continuous derivatives in the interval a < t < b , and (3) none of the derivatives are simultaneously 0 in the interval a < t < b , then the curve is called a curve of class r and is denoted by C _r .

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Japanese:

普通の空間すなわち3次元ユークリッド空間内に含まれる曲線のことである。空間内に直交座標系O- xyz を定める。曲線は，この空間内を点Pが動いたときの軌跡と考えられるから，定点を原点Oにとってこの軌跡の上の任意の点の位置ベクトルを x とすれば，x は媒介変数 t ( a≦t≦b ) の関数と考えることができる。それゆえ空間曲線は，x＝x(t) という形の関数で表わすことができる。ここでベクトル x および x(t) の成分を，それぞれ，(x₁，x₂，x₃) および (x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)) で表わせば，曲線は x₁＝x₁(t)，x₂＝x₂(t)，x₃＝x₃(t) と書くこともできる。以上のような曲線の表わし方を，曲線の媒介変数表示あるいはパラメータ表示という。曲線を運動する点Pの軌跡と考えれば，媒介変数 t は時刻，x(t) あるいは (x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)) はその時刻 t における点Pの位置とみなすことができる。 x＝x(t) を，座標系の定められた空間 (数空間ということがある) の曲線とすれば，x₁＝x₁(t)，x₂＝x₂(t)，x₃＝x₃(t) はすべて連続関数であるが，特にこれらすべてが連続導関数をもてば，この曲線 x＝x(t) はなめらかな曲線であるという。微分幾何学では，曲線 C を表わす3つの関数 x_i＝x_i(t)(i＝1，2，3) がいずれも，(1) 区間 a≦t≦b において連続な一価関数であり，(2) 区間 a＜t＜b において r 階の連続な導関数をもち，(3) 区間 a＜t＜b においてそれらの導関数が同時には0にならないとき，この曲線を r 級の曲線といい，C_r で表わす。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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