Wilson's theorem

Japanese: ウィルソンの定理 - ウィルソンのていり（英語表記）Wilson's theorem

The theorem proposed by the British mathematician J. Wilson (1741-93) states that "( p -1)!+1 is divisible by p if and only if p is a prime number." It was proved by J. Lagrange and L. Euler. This theorem is generally understood as follows:

x ^p ^-1 -1≡( x -1)( x -2)…( x - p +1) (mod p )

In particular, when x = 0, that is,

( p -1)! ≡ -1 (mod p )

This is what is known as Wilson's theorem.

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Japanese:

イギリスの数学者 J.ウィルソン (1741～93) によって提出された，「 p が素数であるとき，かつそのときにのみ，(p－1)!＋1 は p で割切れる」という定理。 J.ラグランジュや L.オイラーによって証明された。この定理は一般に，

x^p^-1－1≡(x－1)(x－2)…(x－p＋1)　(modp)

と書かれ，特に x＝0 の場合，すなわち，

(p－1)!≡－1　(modp)

が，いわゆるウィルソンの定理である。

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