R right module - R right module

…If N is a submodule of M , then the mapping that maps an element m of M to a coset ( m + N ) that contains m is a homomorphism. Conversely, if there is a homomorphism φ as above, then the kernel φ ^-1 (0)＝{ m ∈ M |φ( m )＝0} of φ is a submodule of M , and φ( M ) is a submodule of M ′, and its structure as an R- left module is the same as M /φ ^-1 (0) (i.e., isomorphism). When the multiplication of an element of R by an element of M is determined by multiplying an element of R from the right, an R- right module is defined by the same condition ( m , n ∈ M , r , s ∈ R ⇒( m + n ) r ＝ mr + nr , m ( r + s )＝ mr + ms , m ( rs )＝( mr ) s , m ･1＝ m ). If R is a commutative ring, then for an R -left module M, we can define multiplication from the right as mr = rm , making it an R -right module, so there is no need to distinguish between right and left, and it is simply called an R -module.

*Some of the terminology explanations that mention "R right module" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…NがMの部分加群であれば，Mの元mに対して，mを含む剰余類＝(m＋N)を対応させる写像は準同型であり，逆に，上のような準同型φがあれば，φの核φ^－1(0)＝｛m∈M｜φ(m)＝0｝はMの部分加群で，φ(M)はM′の部分加群になり，そのR左加群としての構造はM/φ^－1(0)と同じ(すなわち同型)。　Rの元とMの元との乗法が，Rの元を右からかける形できまっているとき，R右加群が同様の条件(m,n∈M,r,s∈R⇒(m＋n)r＝mr＋nr,m(r＋s)＝mr＋ms,m(rs)＝(mr)s,m･1＝m)によって定義される。　Rが可換環であれば，R左加群Mに対して右からの乗法をmr＝rmと定めてR右加群とすることができるので，右，左の区別は不要となり，単にR加群という。…

※「Ｒ 右加群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報