ordinal diagram

…In 1953, Tonofumi Takeuchi extended LK to formalize higher-order predicate logic in the Gentzen type (called GLC), and made the conjecture (called the fundamental conjecture) that a theorem similar to Gentzen's Fundamental Theorem also holds for GLC. He showed that if the fundamental conjecture could be proven in a finite constructive way, the consistency of analysis would be solved in one fell swoop. Takeuchi repeatedly solved the partial solutions of the fundamental conjecture, and introduced the concept of ordinal diagram, a type of constructive ordinal, as an auxiliary means, and worked to develop and reinforce the theory, proving the consistency of a wide-ranging partial system of analysis. Although there is still some dissatisfaction with this proof from the finite point of view, it is the best result obtained in proof theory to date. …

*Some of the terminology explanations that mention "ordinal diagram" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…竹内外史は，53年にLKを拡張して高階の述語論理をゲンツェン･タイプで形式化(GLCと呼ばれる)し，GLCに対してもゲンツェンの基本定理と同様な定理が成り立つという予想(基本予想と呼ばれる)を立て，基本予想が有限的構成的しかたで証明できれば，解析学の無矛盾性は一挙に解決されることを示した。竹内は基本予想の部分的解決を重ねるとともに，その補助手段として構成的順序数の一種であるオーディナル･ダイヤグラムordinal diagramなる概念を導入，その理論の発展と整備補強に努め，広範な内容をもつ解析学の部分体系の無矛盾性を証明した。この証明は有限の立場からはなお若干の不満はあるものの，今日まで証明論で得られている最良の結果である。…

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出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報