Bernoulli number - Bernoulli number

Japanese: ベルヌーイ数 - ベルヌーイすう（英語表記）Bernoulli number

It is named after J. Bernoulli I as a rational number found when expanding a polynomial (Bernoulli polynomial) that calculates the sum of powers of natural numbers. When x /( e ^x -1) is expanded into a power series, x /( e ^x -1)＝Σ B ' _n ( x ⁿ / n !)＝ B ' ₀ ＋ B ' ₁ ( x /1!)＋ B ' ₂ ( x ² /2!)＋…, it appears as the coefficients, where B ' ₀ ＝1, B ' ₁ ＝-1/2, B ' ₂ ＝1/6, B ' ₃ ＝0, B ' ₄ ＝-1/30, B ' ₅ ＝0, B ' ₆ ＝1/42,… However, in the field of applied mathematics, if Bernoulli numbers are _Bn , then _Bn = (-1) ^{n -1} _B'2n , and they are expressed as _Bn = 2( 2n )!ζ( 2n )/(2π) ²ⁿ (ζ is the Zeta function ₎ , with B1 = _1/6 , _B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30, B5 ₌ 5/66, .... In other words , by adding the sign factor (-1) ⁿ _, all of them become positive rational numbers. These numbers are called Bernoulli numbers.

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Japanese:

自然数のべきの和を求める多項式 (ベルヌーイの多項式) の展開に伴って見出される有理数で，J.ベルヌーイ (1世) にちなんでこう呼ばれる。 x/(e^x－1) をべき級数に展開し，x/(e^x－1)＝ΣB'_n(xⁿ/n!)＝B'₀＋B'₁(x/1!)＋B'₂(x²/2!)＋… としたときの係数として現れ，B'₀＝1，B'₁＝－1/2，B'₂＝1/6，B'₃＝0，B'₄＝－1/30，B'₅＝0，B'₆＝1/42，… である。しかし，一般に応用数学の分野では，ベルヌーイ数を B_n とすると，B_n＝(－1)^n-1B'_2n とおいて，B_n＝2(2n)!ζ(2n)/(2π)²ⁿ ( ζ はゼータ関数) で表わされ，B₁＝1/6，B₂＝1/30，B₃＝1/42，B₄＝1/30，B₅＝5/66，… とされる。すなわち符号因子 (－1)ⁿ をつけることによってすべてを正の有理数にするのである。これらの数をベルヌーイ数という。

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