Hilbert space

Around 1900, German mathematician Hilbert proposed the idea of ​​an infinite sequence of fourier series, which is a system of infinite simultaneous linear equations for the Fourier coefficients when solving integral equations.

Let us denote the whole of by ( l ² ), and the inner product of x = { x _n } ∈ ( l ² ) and y = { y _n } ∈ ( l ² ) is

Since ( l ² ) can be considered as the limit of p -dimensional Euclidean space as dimension p approaches infinity, he realized that he could use his geometric intuition and investigated the properties of the space ( l ² ). This was later called a Hilbert space (for other examples of Hilbert spaces, L ² ( a , b ), see the section on "Function analysis").

Nowadays, Hilbert spaces are defined more abstractly. For a vector space H with real or complex coefficients, where x , y ∈ H , the complex number 〈 x , y 〉 (or a real number when coefficients are real) is defined as the inner product, with a and b as coefficients.
(1) If 〈 x , x 〉 ≥ 0, 〈 x , x 〉 = 0, then x = 0.
(2) 〈 y , x 〉 = 〈 , 〉 (ā is the complex conjugate of a )
(3) 〈 ax + by , z 〉= a 〈 x , z 〉+ b 〈 y , z 〉
In this case,

Then, ||| becomes the norm of H. When H is complete with respect to the metric derived from this norm, it is called a Hilbert space. Obviously, a Hilbert space is a Banach space.

If 〈 x , y 〉=0 for x , y ∈ H , then x and y are said to be orthogonal. Then, in the Hilbert space, there exists a sequence of mutually orthogonal elements { x _n ; ‖ x _n ‖= 1 }, and any element x of H is

In this case,

holds true.

Therefore, x has a one-to-one correspondence with { c _n }∈( l ² ), and since the norm is preserved, we can consider ( l ² ) instead of H.

Considering a bounded linear functional on a Hilbert space H , the elements of H are determined,
( x )=〈 x ,〉
and the inner product (Riesz's theorem). Therefore, the conjugate space of H can be thought of as H itself. In this way, the conjugate operator T ^* of the bounded linear operator T of H also acts on H , and for any x , y ∈ H ,
〈 Tx , y 〉=〈 x , T ^* y 〉
It may be assumed that the following relationship holds.

Let M denote the set of bounded linear operators on a Hilbert space H. For T , S ∈ M , both the sum S + T and the scalar multiplication aT belong to M. Furthermore, ( ST )( x )= S ( T ( x )), x ∈ H
By defining the product by, ST ∈ M ,
‖ ST ‖≦‖ S ‖・‖ T ‖
Also, T ^* ∈ M.

This M is called a total operator algebra, and a subalgebra of M that is closed under the norm topology is called a C ^* algebra, and a subalgebra that is closed under the weak topology is called a Neumann algebra. Research into this field began with Neumann, and it has developed rapidly since the end of the Second World War, with applications to quantum mechanics and other fields.

A bounded linear operator such that A ^* = A is called a self-adjoint operator. If this is also completely continuous, the same spectral theorem as for symmetric matrices holds. That is,
Ax = λx , x ≠ 0
If there exists an x ​​such that λ is an eigenvalue of A and x is an eigenvector for eigenvalue λ, then the following holds: "For a self-conjugate, completely continuous operator A , we can choose a sequence of eigenvalues ​​{λ _n }:|λ ₁ |≧|λ ₂ |≧……→0 and a corresponding sequence of eigenvectors { _n }, where { _n } is an orthonormal system (〈 _i , _j 〉= 1 ,〈 _i , _j 〉=0, i ≠ j ), and

It can be expanded in the form of
[Haruo Sunouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

1900年ころ、ドイツの数学者ヒルベルトは積分方程式を解くのに、未知関数をフーリエ級数に展開すると、フーリエ係数についての無限連立一次方程式となることから、無限数列

の全体を(l²)で表し、x=｛x_n｝∈(l²)とy=｛y_n｝∈(l²)との内積を

で定義すると、(l²)はp次元ユークリッド空間において次元pを無限大にした極限と考えられるので、幾何学的な直観が使えることに気づき、空間(l²)の性質を調べた。これがのちにヒルベルト空間とよばれるものである（他のヒルベルト空間の例L²(a,b)については「関数解析」の項参照）。

　現在ではヒルベルト空間はもっと抽象的に定義される。実数または複素数を係数とするベクトル空間Hで、x,y∈Hに対し、内積として複素数〈x,y〉（実数係数のときは実数）が定義され、a、bを係数とすると、
　　（1）　〈x,x〉≧0, 〈x,x〉=0ならばx=0
　　（2）　〈y,x〉=〈,〉 (āはaの共役複素数)
　　（3）　〈ax+by,z〉=a〈x,z〉+b〈y,z〉
を満足する。このとき、

と置くと‖　‖はHのノルムになる。このノルムから導かれた距離に関し完備となるとき、Hをヒルベルト空間という。明らかにヒルベルト空間はバナッハ空間である。

　x,y∈Hに対して〈x,y〉=0ならば、xとyは直交するという。すると、ヒルベルト空間には互いに直交する要素の列｛x_n;‖x_n‖=1｝が存在し、Hの任意の要素xは

の形に展開できる。このとき、

が成立する。

　よって、xは｛c_n｝∈(l²)と一対一の対応がつき、しかもノルムを保存するから、Hの代りに(l²)で考えてもよい。

　ヒルベルト空間H上の有界線形汎(はん)関数を考えると、Hの要素が決まり、
　　(x)=〈x,〉
と内積で表される（リースの定理）。よってHの共役空間はH自身であると考えることもできる。このように考えると、Hの有界線形作用素Tの共役作用素T^*もHに作用することになり、任意のx,y∈Hに対し、
　　〈Tx,y〉=〈x,T^*y〉
の関係が成り立つものとしてよい。

　ヒルベルト空間Hの上の有界線形作用素の全体をMで表すと、T,S∈Mに対し、和S+Tも、スカラー倍aTもMに属し、さらに
　　(ST)(x)=S(T(x)), x∈H
によって積を定義すると、ST∈Mとなり、
　　‖ST‖≦‖S‖・‖T‖
となる。また、T^*∈Mである。

　このMを全作用素環といい、その部分環でノルム位相で閉じているものをC^*環、弱位相で閉じているものをノイマン環という。その研究はノイマンに始まり、量子力学などへの応用もあって、第二次世界大戦後急速な発展を遂げた部門である。

　有界線形作用素でA^*=Aとなるものを自己共役作用素という。これがさらに完全連続ならば、対称行列と同様なスペクトルの定理が成り立つ。すなわち、
　　Ax=λx, x≠0
となるxが存在するとき、λをAの固有値、xを固有値λに対する固有ベクトルということにすると、次のことが成り立つ。「自己共役、完全連続な作用素Aに対し、固有値の列｛λ_n｝:|λ₁|≧|λ₂|≧……→0と、対応する固有ベクトルの列｛_n｝が選べて、｛_n｝は正規直交系(〈_i,_j〉=1,〈_i,_j〉=0,i≠j)となり、

の形に展開できる」
［洲之内治男］

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