Integral equation

A relational expression that includes an integral of an unknown function is called an integral equation. For example, if x is the independent variable, u(x) is the unknown function, f(x),K(x.ξ) are known functions, and λ is a parameter, the relational expression

are integral equations. (1) is called the Fredholm type, and (2) is called the Volterra type. The same is true when there are two or more independent variables.

The problem of finding a solution y=y(x) that satisfies the boundary condition y(a)=y(b)=0 of the ordinary differential equation y″+λy=f(x) can be expressed as an integral equation of the form (1) by setting u(x)=y″(x).

Similarly, an initial value problem for an ordinary differential equation is equivalent to solving a Volterra type integral equation. If we apply the function u(x) to the function

If we write the operator that corresponds to T, then (2) can be expressed as the equation u+λTu=f (1)′ in a suitable function space.
This equation (1)' has properties similar to simultaneous linear equations. These properties have been investigated in detail as properties of bounded operators in Banach spaces and Hilbert spaces. Using this result, we can discuss the solvability of integral equations, and therefore boundary value problems for differential equations.

[Yoshikazu Kobayashi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

未知関数の積分を含む関係式を積分方程式という。たとえば、xを独立変数、u(x)を未知関数、f(x),K(x.ξ)を既知関数、λをパラメーターとして関係式

は積分方程式である。（1）をフレドホルム型、（2）をボルテラ型という。独立変数が二つ以上の場合も同様である。

　常微分方程式y″+λy=f(x)の境界条件y(a)=y(b)=0を満たす解y=y(x)を求める問題は、u(x)=y″(x)と置くことにより、（1）の形の積分方程式を

として解くことに同等になる。同様に、常微分方程式の初期値問題はボルテラ型の積分方程式を解くことに同等になる。関数u(x)に関数

を対応させる作用素をTと書くと、（2）は適当な関数空間における方程式
　　u+λTu=f　　（1）′
の形に書くことができる。この方程式（1）′は連立一次方程式と類似の性質をもつ。これらの性質はバナッハ空間やヒルベルト空間における有界作用素の性質として詳しく調べられている。この結果を用いて、積分方程式、したがって微分方程式の境界値問題などの可解性を論ずることができる。

［小林良和］

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