Trigonometric functions - sankakukansuu (English spelling) trigonometric functions

Japanese: 三角関数 - さんかくかんすう（英語表記）trigonometric function

It is an extension of the trigonometric functions that represent the ratios of the sides of a right triangle, and is a function defined for any angle.

An angle is a figure determined by two lines emanating from a point O, and to determine its size, we consider it as follows. One of the two lines is fixed and called the starting line, and the other is considered to be a line that was at the position of the starting line and has rotated around O to its current position. This line is called a radius. Rotation is considered positive in the counterclockwise direction, and one revolution around the origin is counted as 360 degrees. In this way, angles of various sizes that differ by integer multiples of 360 degrees correspond to the current position of the radius. Also, the position of the corresponding radius is determined for any real value ( Figure A ). In a circle, the size of the central angle and the length of the corresponding arc are proportional. The central angle for an arc with a length equal to the radius of the circle is called 1 radian, and the method of measuring angles using this as a unit is the radian system. The length of the circumference of a circle with radius r is 2π r , so 360 degrees is equivalent to 2π radians. In everyday life, it is common to use degrees, minutes, and seconds, but in mathematics, the radian system is used exclusively. The term radian is usually omitted. The term radian was first used by James Thomson in the late 19th century.

On a plane defined by Cartesian coordinates, the positive part of the x- axis is taken as the starting line, and a point P is placed on the radius vector for the magnitude of the angle θ. If OP = r ( r > 0) and the coordinates of point P are ( x , y ), then the following six ratios x / r , y / r , y / x , x / y , r / x , r / y are unrelated to the position of P on the radius vector and are determined only by θ. These are called the trigonometric functions of θ, and are called as follows ( Figure B ).

x / r = cosθ
(cosine θ, cosine)
y / r = sinθ
(sine θ, sine)
y / x = tan θ
(tangent θ, tangent)
x / y = cotθ
(cotangent θ, cotangent)
r / x = secθ
(Secant θ, secant)
r / y = cosecθ
(cosecant θ, cosecant)
A circle with a radius of 1 centered at the origin O is called a unit circle, and cosθ and sinθ are the x and y coordinates of the intersection of the radius and the circumference for the angular magnitude θ. For this reason, these functions are also called circular functions. Graphs of each of these functions are shown in Figure C. The curve on the graph of sinθ is known as a sine curve, or sine curve.

[Osamu Takenouchi]

Properties of trigonometric functions

From now on, point P will be set so that OP = r = 1. Then, point P is determined only by the current position of the radius, and it is unrelated to how many times it has rotated around the origin. From this, it is known that the values of sinθ and cosθ do not change even if an integer multiple of 2π is added to θ. In other words, these functions are periodic functions with a period of 360 degrees or 2π. Other relationships are shown in Table 1. Next, since cosθ and sinθ are the x and y coordinates of point P on the unit circumference, cos ² θ + sin ² θ = 1 can be obtained by Pythagoras' theorem (Pythagoras' theorem). Other relationships are shown in Table 2. Note that cos ² θ means (cosθ) ² .

Expressions that express sin(θ＋) using sinθ, cosθ, sin, and cos are called addition theorems. Various formulas can be derived from these. These are shown in Table 3. Using these formulas, the following de Moivre's theorem can be derived.

(cosθ+ i sinθ) ⁿ = cosnθ+ i sinnθ
Here, n is an integer and i is the imaginary unit. To find the derivative of a trigonometric function, use the limit relation

The derivatives and indefinite integrals of each function are as shown in Table 4 .

x = A sin ct , A cos ct is the differential equation d ² x / dt ² = - c ² x
This differential equation is the equation of motion for a mass point moving on the x- axis when it is subjected to a gravitational force from the origin that is proportional to its distance, and the motion is a reciprocating motion with an amplitude of 2 A and a period of c /2π centered on the origin. This is considered to be a fundamental type of motion, and is called simple harmonic motion. Vibration phenomena can be viewed as a superposition of simple harmonic motions with different amplitudes and periods through harmonic analysis.

The expansion of each function with respect to θ expressed in radians is shown in Table 5 .

As suggested by de Moivre's theorem, e ^{i θ} ＝cosθ＋ i sinθ
If we define a complex power of the number e as above, we can see that it has the properties of a power function e ^{i θ}・e ⁱ ＝ e ^{i (θ+} ⁾ ( e is the base of the natural logarithm). This formula is called Euler's formula. And for a general complex number z ＝α＋ i β,
e ^z ＝e ^α・e ^{i β}
＝ e ^α (cosβ＋ i sinβ)
Then, e ^z becomes a function with the expansion shown in Table 6 for all z , which is a natural extension of the power function of e to complex exponentials.

[Osamu Takenouchi]

History of Trigonometric Functions

Treating the six trigonometric functions equally is said to have begun in Vieta in the 16th century. The product-sum formula for trigonometric functions gradually became known from around the 10th century. This was important for solving spherical triangles in navigation and astronomy, as it replaced the troublesome calculation of products with sums. However, with the discovery of logarithms in the early 17th century, it became easy to calculate products directly, and this meaning was lost. Calculating the values of trigonometric functions used to rely on addition theorems and figures, but since Newton showed the expansion formulas and Abraham Sharp (1651-1742) used them to create tables in the early 18th century, the expansion formulas have come to be used. Currently, calculation methods using polynomials and other methods have been devised to accurately calculate to the required number of digits, and these are incorporated into integrated circuits (ICs) to easily calculate values.

[Osamu Takenouchi]

Determining the size of an angle (Figure A)
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Determining the size of an angle (Figure A)

Trigonometric functions of angle θ (Figure B)
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Trigonometric functions of angle θ (Figure B)

Graph of each function (Figure C)
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Graph of each function (Figure C)

Properties of trigonometric functions (1) [Table 1]
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Properties of trigonometric functions (1) [Table 1]

Properties of trigonometric functions (2) [Table 2]
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Properties of trigonometric functions (2) [Table 2]

Trigonometric formulas (Table 3)
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Trigonometric formulas (Table 3)

Derivatives and indefinite integrals of trigonometric functions [Table 4]
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Derivatives and indefinite integrals of trigonometric functions [Table 4]

Expansion of trigonometric functions (Table 5)
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Expansion of trigonometric functions (Table 5)

Complex powers of e [Table 6]
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Complex powers of e [Table 6]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

直角三角形の辺の比を表す三角比を拡張したもので、任意の角に対して定義される関数である。

　角は1点Oから出る二つの半直線によって定められる図形であるが、その大きさを決めるため次のように考える。二つの半直線のうち一方を固定して始線とよび、他方は、始線の位置にあった半直線がOを中心として回転して現在の位置まできたものとみる。この半直線を動径という。回転は左回りを正と考え、原点を1回りすれば360度と数える。このようにして、動径の現在位置には、360度の整数倍だけ異なるいろいろな大きさの角が対応することになる。また任意の実数値に対して、それに対応する動径の位置が定まる（図A）。一つの円において、中心角の大きさとそれに対応する弧の長さは比例する。円の半径に等しい長さの弧に対する中心角を1ラジアンとよび、これを単位として角を測る方法が弧度法である。半径rの円周の長さは2πrだから、360度は2πラジアンに相当する。日常生活では度、分、秒を用いる方法が一般的であるが、数学ではもっぱら弧度法が用いられる。そして通常は単位名のラジアンを省略することが多い。ラジアンの呼称は19世紀後期、ジェームズ・トムソンJames Thomsonによって初めて用いられた。

　直交座標を定めた平面上において、x軸の正の部分を始線にとり、角の大きさθに対する動径上に1点Pをとる。OP＝r(r＞0)とし、点Pの座標を(x,y)とすれば、以下の六つの比、x/r, y/r, y/x, x/y, r/x, r/yは、動径上のPの位置には無関係で、θだけによって定まる。これらをθの三角関数といい、次のようによぶ（図B）。

　　x/r＝cosθ
　　（コサインθ、余弦）
　　y/r＝sinθ
　　（サインθ、正弦）
　　y/x＝tanθ
　　（タンジェントθ、正接）
　　x/y＝cotθ
　　（コタンジェントθ、余接）
　　r/x＝secθ
　　（セカントθ、正割）
　　r/y＝cosecθ
　　（コセカントθ、余割）
　原点Oを中心とする半径1の円を単位円というが、cosθ, sinθは角の大きさθに対する動径と円周との交点のx座標、y座標である。このことから、これらの関数は円関数ともよばれる。これら各関数のグラフは図Cに示したとおりである。sinθのグラフの曲線は正弦曲線、あるいはサイン・カーブの名で知られる。

［竹之内脩］

三角関数の性質

以後、点PはOP＝r＝1となるようにとる。すると点Pは動径の現在ある位置のみによって定まり、それが原点の周りを何回転したかには無関係である。このことから、sinθ, cosθはθに2πの整数倍を加えても、その値が変わらないことが知られる。すなわち、これらの関数は、360度あるいは2πを周期とする周期関数である。そのほかの諸関係を表1に示す。次に、cosθ, sinθが単位円周上の点Pのx座標、y座標であることから、ピタゴラスの定理（三平方の定理）によってcos²θ＋sin²θ＝1が得られる。このほかの諸関係を表2に示す。なおcos²θは(cosθ)²の意味である。

　sin(θ＋)をsinθ, cosθ, sin,cosによって表す式などを加法定理という。そして、これらから種々の公式が導かれる。それらを表3に示す。これらの公式を用いると、次のド・モアブルの定理が導かれる。

　　(cosθ＋isinθ)ⁿ＝cosnθ＋isinnθ
ここで、nは整数、iは虚数単位を表す。三角関数の導関数を求めるにあたっては、極限関係

が基本的である。それぞれの関数の導関数、不定積分は表4のようになる。

　x＝Asinct, Acosctは、微分方程式
　　d²x/dt²＝－c²x
を満足する。この微分方程式は、x軸を動く質点が、原点から、その距離に比例する引力を受けるときの質点の運動方程式であり、その運動は、原点を中心とする振幅2A、周期c/2πの往復運動となる。これは、運動のなかの基本的なものと考えられ、これを単振動という。振動現象は、調和解析によって振幅、周期を異にする単振動の重ね合わせとみられる。

　ラジアンで表されたθについての各関数の展開式を表5に示す。

　ド・モアブルの定理からも示唆されるように
　　e^iθ＝cosθ＋isinθ
によって、数eの複素累乗を定義すると、これは、累乗関数の性質e^iθ・eⁱ＝e^i(θ+⁾をもつことがわかる（eは自然対数の底(てい)）。この式をオイラーの公式という。そして、一般の複素数z＝α＋iβについて、
　　e^z＝e^α・e^iβ
　　　＝e^α(cosβ＋isinβ)
と定めると、e^zはすべてのzについて表6に示したような展開をもつ関数となり、eの累乗関数の複素数指数への自然な拡張となる。

［竹之内脩］

三角関数の歴史

6種の三角関数を対等に扱うことは、16世紀ビエタに始まるとされる。三角関数の積和公式は10世紀ころからすこしずつ知られるようになった。これは、航海術、天文学における球面三角形の解法に際して、やっかいな積の計算を和で置き換えるために重要なものであった。しかし、17世紀初めの対数の発見により、積を直接計算することが容易にできるようになって、その意味は失われた。三角関数の値を計算するのは、加法定理と図形に頼っていたが、ニュートンが展開式を示し、18世紀初めシャープAbraham Sharp（1651―1742）がこれを用いて製表して以来、展開式が用いられるようになった。現在では、必要な桁(けた)数まで正確に計算するための多項式による計算法その他が案出され、これらは集積回路（IC）に組み込まれて、容易にその値が算出される。

［竹之内脩］