Limit value

Japanese: 極限値 - きょくげんち（英語表記）limit value

Used for sequences and functions.
(1) Limit value of a sequence Suppose the sequence { a _n } is given. If there is a real number α, and if the error | a _n - α| can be made as small as desired by continuously increasing n , then the sequence { a _n } is said to converge to α, and this α is called the limit value of the sequence { a _n }. This condition means that for any small positive number ε, if n is taken to be sufficiently large, it is possible for a _m where m ≧ n to satisfy | a _m - α| < ε, in other words, a _m ( m ≧ n ) will fall within the ε neighborhood of α.
(2) Limit value of a function Since the sequence { a _n } can be thought of as a function y = f ( n ) whose domain is the set of natural numbers n ( n = 1, 2, ..., p , ...), the definition of the limit value of a sequence can be expanded to define the limit value of a general function related to a continuous transformation. Let the function be f ( x ). Now, as x approaches infinitely a constant value a , if f ( x ) approaches infinitely a constant value α, then α is said to be the limit value of f ( x ) as x approaches a , and is expressed using the symbols f ( x ) → α( x → a ) or . Following the same definition as for sequences, it is as follows: In other words, no matter how small the positive number ε is, if you take an appropriate positive number δ for it, then if 0 < | x - a | < δ then | f ( x )α| < ε, then f ( x ) is said to converge to α at x = a , and this α is called the limit value of f ( x ). Here, the position is that x = a is not the case, but there is also the position that x = a can be included.
(3) The above has been generalized to define limits in topological spaces, the Moore-Smith limit for nets, limit values for filters, etc.

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Japanese:

数列および関数について使われる。
(1) 数列の極限値　数列｛a_n｝が与えられたとする。いまある実数αがあって，n をどんどん大きくすれば，誤差｜a_n－α｜をいくらでも小さくできるとき，数列｛a_n｝はαに収束するといい，このαを数列｛a_n｝の極限値という。この条件は，どんなに小さい正の数εに対しても，n を十分に大きくとれば，m≧n である a_m が｜a_m－α｜＜εを満足するようにできること，すなわち a_m（m≧n）がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。
(2) 関数の極限値　数列｛a_n｝は自然数 n（n＝1，2，…，p，…）の集合を定義域とする関数 y＝f(n) と考えられるから，数列の極限値の定義を拡張して，連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を f(x) とする。いま x がかぎりなく一定値 a に近づくとき，f(x) がかぎりなく一定の値αに近づけば，αは，x が a に近づくときの f(x) の極限値であるといわれ，記号を用いて f(x)→α(x→a) またはで表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち，正の数εをどんなに小さくとっても，それに対しての正の数δを適当にとれば，0＜｜x－a｜＜δならば｜f(x)α｜＜εとなるとき，f(x) は，x＝a においてαに収束するといい，このαを f(x) の極限値という。ここでは，x＝a にはならないという立場であるが，x＝a を入れる立場もある。
(3) 上記を一般化して，位相空間内の極限値，ネットに関するムーア・スミスの極限値，フィルターの極限値などが定義されている。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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