Analytical functions

Japanese: 解析関数 - かいせきかんすう

If a complex function f(z) on a region D of the complex plane is differentiable at each point near a point c in D, the function is said to be regular at c. In this case, a Taylor expansion can be done near c, as follows:
f(z)=c ₀ +c ₁ (z-c)+c ₂ (z-c) ²
＋……＋c _n (z－c) ⁿ ＋……
Conversely, when a function can be expressed as a power series of this form, the function is said to be analytical at point c, and a function that is analytical at each point in the domain D is called an analytic function in D. Now, for z where the power series on the right-hand side converges, the function represented by the series can be differentiated any number of times. Therefore, regularity and analyticity are equivalent near point c.

[Haruo Sunouchi]

Analytic Connection

Given a regular function f ₁ (z) on a domain D ₁ and a regular function f ₂ (z) on D ₂ , and f 1 (z) = f ₂ (z) on a domain D ₀ included in D ₁ ∩ D ₂ (the intersection of D ₁ and D 2), there exists a regular function f ₁ (z) = f ₂ (z) on D ₁ ∪ _{D 2} (the union of D ₁ and D ₂ ).

The fact that is determined can be seen from the identity theorem of holomorphic functions. In this case, F(z) is said to be an analytic continuation of f ₁ (z) (or f ₂ (z)). Now, starting with a holomorphic function f(z) on domain D, the function finally obtained by repeatedly performing analytic continuation is called an analytic function. In this case, analytic continuation is not possible beyond the boundaries of analytic functions. When a real function of real variables can be expanded by Taylor expansion, the function is said to be real analytic. Real analytic functions can be extended to analytic functions of complex variables. Therefore, real analytic function theory can be handled in a unified manner within function theory.

[Haruo Sunouchi]

[Reference] | Function theory | Taylor expansion

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

複素平面の領域D上の複素関数f(z)が、D内の点cの近くの各点で微分可能なとき、関数はcにおいて正則であるという。このとき、cの近くでテーラー展開ができて、
　　f(z)＝c₀＋c₁(z－c)＋c₂(z－c)²
　　　　＋……＋c_n(z－c)ⁿ＋……
の形で表せる。逆に、関数がこの形の整級数で表せるとき、関数は点cで解析的であるといい、領域D内の各点で解析的な関数をDでの解析関数という。さて、右辺の整級数が収束するようなzでは、級数の表す関数は何回でも微分可能となる。したがって、点cの近くでは正則性と解析性は同値である。

［洲之内治男］

解析接続

領域D₁上で正則な関数f₁(z)と、D₂上で正則な関数f₂(z)が与えられ、D₁∩D₂（D₁とD₂の共通部分）に含まれるある領域D₀上でf₁(z)＝f₂(z)となるとき、D₁∪D₂（D₁、D₂の和集合）上に一つの正則関数

が決まることは正則関数の一致の定理よりわかる。このとき、F(z)はf₁(z)（またはf₂(z)）の解析接続であるという。いま、領域D上の正則関数f(z)から始めて、解析接続を次々に繰り返して、最終的に得られる関数を解析関数という。このとき、解析関数の境界を越えて解析接続はできない。実変数の実関数がテーラー展開できるとき、その関数は実解析的という。実解析的な関数は複素変数の解析関数に拡張できる。したがって実解析的な関数論は関数論のなかで統一的に取り扱うことができる。