Analytical Geometry

It is a method of solving classical geometry problems by describing figures with mathematical formulas using a coordinate system and using algebraic calculations. This is the name of the method used, and does not represent the content of the geometry, such as Euclidean geometry, Riemannian geometry, or topology. Also, since the method used is mainly linear algebra, it is more appropriate to call it "algebraic methods in classical geometry." Analytical geometry was started by R. Descartes in the first half of the 17th century, and the subject of study was Euclidean geometry in plane or space, but today it is widely considered to be the subject of classical geometry in general. However, when people normally say analytical geometry, they often mean "algebraic methods in Euclidean geometry." For example, in the case of two dimensions, in Cartesian coordinates, a straight line is expressed by a linear equation, and a quadratic curve (circle, ellipse, hyperbola, parabola) is expressed by a quadratic equation. When (x, y) are Cartesian coordinates, the equation of a straight line that passes through two points (x1, y1) and (x2, y2) is

In particular, the line passing through two points (a,0) and (0,b) is

(intercept form). An ellipse whose center is the origin and whose major and minor axes are aligned in the direction of the coordinate axes is

In particular, if a = b, it is a circle. The equation of an ellipse can always be converted to this form (standard form) by appropriate coordinate transformation (rotation and translation). The algebraic technique used in this case is the standardization of quadratic forms (eigenvalue problem of a symmetric matrix). The same is true for hyperbolas and parabolas. In three dimensions, figures that are expressed by linear equations in Cartesian coordinates are planes, and straight lines are expressed by simultaneous linear equations. Quadratic surfaces (spheres, ellipses, one-sheet hyperboloids, two-sheet hyperboloids, etc.) can be expressed by quadratic equations.

In general, for the set of all n real numbers (x1, x2, …, xn), the distance between two points (x1, x2, …, xn) and (y1, y2, …, yn) is

By defining n-dimensional Euclidean geometry as n-dimensional analytic geometry, n-dimensional Euclidean geometry can be constructed algebraically (n-dimensional analytic geometry). Exactly the same "algebraic methods in...geometry" exist for classical geometries other than Euclidean geometry (non-Euclidean geometry, affine geometry, projective geometry, etc.). However, the coordinate system used differs for each geometry. For example, the concept of "orthogonal" coordinates has no meaning in affine geometry or projective geometry. Algebraic methods using coordinate systems are not necessarily optimal for all geometric problems. Methods that directly consider figures without using coordinates are called synthetic geometry or pure geometry in contrast to analytic geometry.

[Koichi Ogiue]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

座標系を用いて図形を数式で記述し、代数的計算によって古典幾何学の問題を処理する手法をいう。これは用いられる手法に対する名称であって、ユークリッド幾何学、リーマン幾何学、位相幾何学などのように幾何学の内容を表すものではなく、またそこで用いられる手法は主として線形代数学であるから「古典幾何学における代数的手法」というほうが適切である。解析幾何学は17世紀前半にR・デカルトによって始められ、平面または空間のユークリッド幾何学が考察の対象であったが、今日では広く古典幾何学一般が取扱いの対象とされる。しかし、普通に解析幾何学というときには、「ユークリッド幾何学における代数的手法」を意味することが多い。たとえば、二次元の場合には直交座標に関しては直線は一次方程式で表され、二次曲線（円、楕円(だえん)、双曲線、放物線）は二次方程式で表される。(x,y)を直交座標とするとき、2点(x1,y1)、(x2,y2)を通る直線の方程式は

である。とくに2点(a,0)、(0,b)を通る直線は

で表される（切片形）。中心が原点で、長軸、短軸が座標軸の方向に一致している楕円は

で表される。とくにa＝bならば円である。適当に座標変換（回転と平行移動）をすれば楕円の方程式はいつでもこの形（標準形）にすることができる。その際に用いられる代数的手法は二次形式の標準化（対称行列の固有値問題）である。双曲線、放物線についても同様である。三次元の場合には、直交座標に関して一次方程式で表される図形は平面であり、直線は連立一次方程式で表される。また、二次曲面（球面、楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面など）は二次方程式で表される。

　一般にn個の実数の組(x1,x2,……,xn)全体の集合に対して2点(x1,x2,……,xn)、(y1,y2,……,yn)の間の距離を

と定義することによって、n次元ユークリッド幾何学を代数的に構成することができる（n次元の解析幾何学）。ユークリッド幾何学以外の古典幾何学（非ユークリッド幾何学、アフィン幾何学、射影幾何学など）に対してもまったく同様に「～幾何学における代数的手法」がある。ただし、用いる座標系はそれぞれの幾何学で異なる。たとえばアフィン幾何学や射影幾何学では「直交」座標という概念は意味をもたない。すべての幾何学の問題に対して座標系を用いる代数的手法が最適であるとは限らない。座標を用いないで図形を直接考察する方法を、解析幾何学に対して総合幾何学または純粋幾何学という。

［荻上紘一］

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