Irrational number - irrational number

A real number that is not rational is called an irrational number.

If a is a natural number and a = b ² (where b is a natural number) is not true, then a is an irrational number. We will verify this for the case of .

Suppose we are currently at a rational number q/p, where p and q are mutually prime (i.e., they have no common factors).

Therefore, q is an even number. So, if we set q = 2q',

From this, it follows that p is also even, which contradicts the assumption that p and q are relatively prime. Therefore, is not a rational number. In other words, it is an irrational number.

Next, let us show that the base of natural logarithms, e, is an irrational number.

This is expressed as:

Now, let e be a rational number q/p. Since e is not an integer, p ≥ 2. Then,

The left side p!e and the right side bracketed terms are integers. And, p+1<p+2<..., so the second and subsequent terms on the right side of the infinite series are:

This is a contradiction because e is smaller than e and is not an integer, therefore e is not a rational number, i.e. it is an irrational number.

In general, it is quite difficult to determine whether a number is rational or irrational. For example, it is difficult to prove that pi is an irrational number. It is still unknown whether Euler's constant γ is a rational or irrational number.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

有理数でない実数を無理数という。

　aが自然数で、a=b²（bは自然数）というようになっていなければ、は無理数である。このことを、の場合について検証する。

　いまが有理数q/pであるとする。ここに、p、qは互いに素（つまり、公約数がない）、としておく。

したがってqは偶数である。そこでq=2q′とすれば、

　これからpも偶数であることになるが、これはpとqが互いに素であるとした仮定に反する。ゆえに、は有理数ではない。つまり無理数である。

　次に、自然対数の底eが無理数であることを示そう。

と表される。

　いま、eが有理数q/pであるとする。eは整数ではないから、p≧2である。そうすると、

　左辺p!eおよび右辺の大括弧(かっこ)付きの項は整数である。そして、p+1＜p+2＜……だから、右辺の第2項以降の無限級数は、

より小さく、整数とはならないから、これは矛盾である。ゆえに、eは有理数ではない。つまり、無理数である。

　一般に、ある数が有理数か無理数かを判定するのはなかなか困難である。たとえば、円周率πが無理数であることを証明するのはむずかしい。オイラーの定数γなどは、いまだに、有理数か無理数かがわかっていない。

［竹之内脩］

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