Quadratic Functions

When a, b, and c are constants,
y= ^ax2 +bx+c (a≠0)
In particular, if the constants b and c are both zero, then y is proportional to the square of x. For example, when a ball is thrown straight up from a height of h meters above the ground at a speed of v ₀ meters per second, if the height of the ball after x seconds is y meters above the ground, then the equation y=-4.9x ² +v ₀ x+h holds true.

In the following, the domain of this function is the set of all real numbers, and a, b, and c are all real numbers.

where D=b ² -4ac. The graph of this function is obtained by translating the parabola y=ax ² by -b/2a along the x-axis and by -D/4a along the y-axis. Therefore, this graph is a parabola with a vertex at (-b/2a, -D/4a) and an axis (axis of symmetry) at x=-b/2a. Furthermore, when a>0, the graph is convex downward, so this function decreases when x<-b/2a and increases when x>-b/2a, reaching a minimum value of -D/4a at x=-b/2a. When a<0, the increase and decrease is reversed, and the function reaches a maximum value of -D/4a at x=-b/2a. Also, the value of x when the value of y is zero is the solution to the quadratic equation ^ax2 +bx+c=0, so when D>0, the graph of the quadratic function y= ^ax2 +bx+c intersects the x-axis at two points, when D=0 it is tangent to the x-axis, and when D<0 it has no common point with the x-axis.

[Tsuneo Uetake]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

a、b、cを定数とするとき、
　　y=ax²+bx+c　(a≠0)
で表される関数をいう。とくに、定数bとcがともにゼロであれば、yはxの二乗（平方）に比例する。たとえば、ボールを地上hメートルのところから、毎秒v₀メートルの速さで真上に投げ上げるとき、x秒後のボールの高さを地上yメートルとすれば、だいたいy=-4.9x²+v₀x+hが成り立つ。

　以下、この関数の定義域は実数全体の集合とし、a、b、cもすべて実数とする。いわゆる「平方完成」によって

と変形できる。ただしD=b²-4acである。この関数のグラフは、放物線y=ax²をx軸の方向に-b/2aだけ、y軸の方向に-D/4aだけ平行移動したものである。したがって、このグラフは、頂点が(-b/2a,-D/4a)、軸（対称軸）がx=-b/2aである放物線となる。また、a＞0のとき、グラフは下に凸であるから、この関数はx＜-b/2aで減少、x＞-b/2aで増加し、x=-b/2aで最小値-D/4aをとる。a＜0のときには、増減がこれとは逆になり、x=-b/2aで最大値-D/4aをとる。また、yの値がゼロになるときのxの値は、二次方程式ax²+bx+c=0の解であるから、D＞0のとき、二次関数y=ax²+bx+cのグラフはx軸と2点で交わり、D=0のときにはx軸と接し、D＜0のときはx軸と共有点をもたない。

［植竹恒男］

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