Ideal - Ideal (English spelling) German

Mathematical term. In a commutative ring R, if I is a nonempty subset of R, then
(1) If a, b∈I then a＋b∈I
(2) If a∈I, r∈R, then a・r∈I
An ideal of R is one that satisfies the above. Here, a∈A means "a is an element of set A". It was first defined by Dedekind as a central concept in the theory of integers in algebraic number fields. The simplest example of an ideal is called a monadic ideal. In a commutative ring R, take an element m of R and fix it. Let (m) be the set of products of m and any element of R (i.e. multiples of m). That is, (m)＝{mr｜r∈R}
Let (m) be an ideal in R, and an ideal formed by all multiples of an element like this is called a monadic ideal. Let Z be the commutative ring formed by all ordinary integers. In Z, it can be shown that ideals are limited to monadic ideals, and furthermore, (m)＝(n)m＝±n
Therefore, considering ideals means nothing more than considering integers ignoring their signs, so ideals play no special role. Also, in the Gaussian ring of integers Z[i], all ideals are also monomial ideals. A ring in which all ideals are monomial ideals is called a monomial ideal ring.

Ideals play their role when they are not a monadic ideal ring. Next, let us look at an example of a ring that is not a monadic ideal ring. If we express the set of complex numbers such as a + b, where a and b are integers, as Z[], then Z[] is a commutative ring. If we express the set of elements of Z[] that can be expressed as 2x + (-1+)y using integers x and y as [2,-1+], it can be shown that the set [2,-1+] is not a monadic ideal.

The theories of integers that are developed around the concept of prime numbers in the integer ring Z are similarly applied to Gauss's integer ring Z[i]. However, the same development cannot be done in the integer ring Z[] presented here. Therefore, Dedekind took ideals as objects instead of integers, and constructed the theory of ideals as an extension of the theory of integers.

[Terada Fumiyuki]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

数学用語。可換環(かかんかん)RにおいてRの空でない部分集合Iで
(1)a,b∈Iならばa＋b∈I
(2)a∈I,r∈Rならばa・r∈I
を満たすものをRのイデアルという。ここで、a∈Aは、「aは集合Aの元である」ことを表す。代数数体の整数の理論の中心となる概念として、デーデキントが定義したことに始まる。イデアルのもっとも簡単な例は単項イデアルとよばれるものである。可換環Rにおいて、Rの一つの要素mをとり、固定しておく。mとRの任意の要素との積（すなわちmの倍数）の全体を（m）とする。すなわち
　　(m)＝｛mr｜r∈R｝
とする。すると集合（m）はRのイデアルであり、このように一つの要素の倍数の全体のつくるイデアルを単項イデアルという。普通の整数の全体のつくる可換環をZとする。Zでは、イデアルは単項イデアルに限ることが示され、さらに
　　(m)＝(n)m＝±n
である。そこでイデアルを考えるということは、整数を符号を無視して考えるということにほかならないので、イデアルの特別な役割はみられない。また、ガウスの整数環Z［i］でも、すべてのイデアルは単項イデアルである。イデアルがすべて単項イデアルであるような環を単項イデアル環という。

　イデアルがその役割をみせるのは、単項イデアル環でないときである。次に、単項イデアル環でない例をあげよう。a、bを整数としてa＋bのような複素数の全体をZ［］と表すと、Z［］は可換環である。このZ［］の要素のうちで、とくに整数x、yを用いて2x＋（－1＋）yと表されるものの全体を［2,－1＋］と表すと、この集合［2,－1＋］は単項イデアルでないことが示される。

　整数環Zで素数という概念を中心に展開される整数の諸理論は、ガウスの整数環Z［i］においても同じように行われる。しかし、ここにあげた整数環Z［］においては同じような展開をすることができない。そこでデーデキントは、整数にかわるものとしてイデアルという対象をとらえ、整数の理論の拡張としてイデアルの理論を建設したのである。

［寺田文行］

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