Production function - English

Japanese: 生産関数 - せいさんかんすう（英語表記）production function 英語

It shows the technical relationship between the input of production factors and the maximum output that can be achieved by them. The production of product Y requires production factors such as labor L and capital K. In this case, the production function is
Y = f(K,L)
It is expressed as follows. The production function must satisfy two basic assumptions: (1) the marginal productivity of capital and labor is positive, and (2) the technical marginal rate of substitution between capital and labor is diminishing. Basic assumption (1) is common sense, which states that when capital (labor) input remains constant, increasing labor (capital) will increase production volume. Basic assumption (2) is the technical marginal rate of substitution between capital and labor, which measures how many units of capital decrease (increase) when one additional unit of labor is increased (decreased) while keeping production volume constant at Y _0. Basic assumption (2) states that when a certain amount of production is produced, the technical marginal rate of substitution gradually decreases as labor increases. This means that when labor increases, capital becomes relatively scarce, and the increase in labor required to make up for one unit of capital decrease becomes larger. Furthermore, this basic assumption (2) implies that isoquants (curves showing the combinations of labor and capital required to produce a certain amount of output) are convex to the origin.

When producing a certain amount, there are methods that require relatively more capital input (capital-intensive production methods) and, conversely, methods that require relatively more labor input (labor-intensive production methods). In this way, when one production factor can be substituted for another, the measure of the degree of substitution between those production factors is called the elasticity of substitution, and the elasticity of substitution between labor and capital is defined as the ratio of the rate of change in the capital intensity of labor divided by the rate of change in the technical marginal rate of substitution. If this value is zero, there is no substitutability between capital and labor, and they are always input in a constant ratio. The higher this value, the greater the substitutability between capital and labor.

When simultaneously doubling the inputs of capital and labor (by m times) results in a doubling of output (by m times), the production function is said to be linearly homogeneous, or to have invariant returns to scale.

[Toshiyuki Uchijima]

Production function type

There are various theories about the specific shape of the production function, but the most representative examples are the Cobb-Douglas production function and the CES production function.

The Cobb-Douglas production function was proposed by C. W. Cobb and P. H. Douglas.
^Y = ^aKαLβ
a, α, and β are positive constants, and when α+β=1, the production function is linear and homogeneous, and when α(β) is less than 1, the marginal productivity of capital (labor) is diminishing. α(β) indicates the capital (labor) distribution rate, that is, the proportion of profits (total wages) in income.

The CES (constant elasticity of substitution) production function is a production function with a constant elasticity of substitution, and was proposed by four people: K.J. Arrow, H.B. Ceneri, B.S. Minhas, and R.M. Solow. They learned from real data that labor productivity (average productivity of labor) has a high correlation with wage rates, and derived the CES production function from this relationship. This production function is,
Y=a［αK ^-ρ +βL ^-ρ ］ ^-1/ρ
It can be expressed as follows: a, α, and β are positive constants, and when α+β=1, it is linear homogeneous. ρ is the substitution parameter, and the elasticity of substitution is equal to the inverse of 1+ρ. When ρ is zero, the elasticity of substitution is 1, and the production function is of the Cobb-Douglas type. When ρ is infinity, the elasticity of substitution is zero, and the production coefficient, which indicates the ratio of production volume to factor input, is fixed. This type of production function is called the Leontief-Harrod type.

[Toshiyuki Uchijima]

"Economic Growth Theory" by Kenjiro Ara (1969, Iwanami Shoten)" ▽ "The Theory of Production Functions" by Kazuo Sato (1975, Sobunsha)

Production Function
©Shogakukan ">

Production Function

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

生産要素の投入量と、それにより達成可能な最大産出量との間に定まる技術的関係を示すもの。生産物Yの生産には、労働Lや資本Kなどの生産要素を必要とする。このとき生産関数は、
　　Y=f(K,L)
と表される。生産関数の満たすべき基本的仮定は、(1)資本と労働とのそれぞれの限界生産力は正であり、(2)資本と労働との技術的限界代替率は逓減(ていげん)する、の二つである。基本的仮定(1)は、資本（労働）投入が不変のとき、労働（資本）を増やすとそれだけ生産量も増加する、という常識的なものである。基本的仮定(2)の資本と労働との技術的限界代替率とは、生産量を一定量Y₀に保つときに、労働を追加的に1単位増加（減少）させると資本が何単位減少（増加）するかを測るものである。ある一定の生産量を生産する場合、労働が増えるにつれて技術的限界代替率はしだいに減少する、というのが基本的仮定(2)の内容である。これは、労働が増加すると、相対的に資本が希少となり、資本1単位の減少を埋め合わせるのに必要な労働の増加分が大きくなることを意味する。また、この基本的仮定(2)は、等（生産）量曲線（ある一定の生産量を生産するのに必要な労働と資本との組合せを示す曲線）が原点に対して凸であることを示している。

　一定量を生産する場合、相対的に資本を多く投入する方法（資本集約的生産方法）や、反対に相対的に労働を多く投入する方法（労働集約的生産方法）がある。このように一方の生産要素を他の生産要素に代替して投入できる場合、その生産要素間の代替の程度の測度を代替の弾力性とよび、労働・資本間の代替の弾力性は、労働の資本集約度の変化率を技術的限界代替率の変化率で割った比率と定義される。その値がゼロであると資本と労働の代替可能性はまったくなく、それらはつねに一定比率で投入される。その値が大きければ大きいほど、資本と労働との代替可能性は大きいのである。

　資本と労働との投入を同時に2倍（m倍）にすると、生産量もまた2倍（m倍）になるとき、この生産関数は一次同次である、あるいは規模に関して収穫不変である、という。

［内島敏之］

生産関数の型

生産関数の具体的な形状については種々の考え方があるが、もっとも代表的な具体例としては、コブ‐ダグラス生産関数とCES生産関数とがあげられる。

　コブ‐ダグラス生産関数はC・W・コブとP・H・ダグラスとによって提案されたもので、
　　Y=aK^αL^β
で示される。a、α、βは正の定数であり、α+β=1であると、生産関数は一次同次であり、α（β）が1より小さいと、資本（労働）の限界生産力は逓減的である。α（β）は資本（労働）分配率、つまり所得に占める利潤（賃金総額）の割合を示している。

　CES（constant elasticity of substitution）生産関数は、代替の弾力性が一定である生産関数で、K・J・アロー、H・B・チェネリ、B・S・ミンハス、R・M・ソローの4人によって提案されたものである。彼らは現実のデータから労働生産性（労働の平均生産力）は賃金率と高い相関関係をもつことを知り、この関係からCES生産関数を導出した。この生産関数は、
　　Y=a［αK^-ρ+βL^-ρ］^-1/ρ
と表される。a、α、βは正の定数であり、α+β=1のときには一次同次である。ρは代替パラメーターであり、代替の弾力性は1+ρの逆数に等しい。ρがゼロのときには代替の弾力性は1となり、生産関数はコブ‐ダグラス型となる。また、ρが無限大のときには代替の弾力性はゼロであり、生産量の対要素投入量比率を示す生産係数は固定的となる。このような生産関数はレオンチェフ‐ハロッド型とよばれる。

［内島敏之］

『荒憲治郎著『経済成長論』（1969・岩波書店）』▽『佐藤和夫著『生産関数の理論』（1975・創文社）』

生産関数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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