Mapping

A mapping is a way of transferring or corresponding points of one object to points of another object, such as a landscape and its image seen through a lens, but the concept is more generalized and can also be used with mathematical objects such as sets, topological spaces, groups, and fields.

f is a map (or function or arrow) from objects A to B if, for any element x of A, f determines exactly one element of B. This y is called the image of x by f, and is written as x→f(x) or y=f(x). Also, f is a map from A to B, and is written as f:A→B or AB. In particular, when distinct elements of A correspond to distinct elements of B, f is called a unique map or injective. When any element of B is an image of an element of A, f is called a surjection. As a special case, a map _1A that maps itself to an element x of A is called the identity map. The identity map is both surjective and injective. Such a map is called a bijection.

When a mapping f from A to B is bijective, there is a unique element x in A such that y = f(x) for any element y in B. The mapping that associates this x with y is denoted as f ^-1 and is called the inverse mapping of f. Of course, for all elements of A, f ^-1 (f(x)) = x, and for all elements of B, f(f ^-1 (y)) = y.

For a mapping f from A to B, all x for which f(x) is defined, in this case A, is the domain of f, and the set of all f(x) as x moves through the domain is called the range of f. Therefore, a mapping whose range matches B is a surjection. For example, in a mapping from real numbers to real numbers that maps x to its square ^x² , the domain is all real numbers, and the range is all zero or positive real numbers.

For some mappings, the concept of a composition map is important. For example, when f is a mapping from A to B and g is a mapping from B to C, for an element x of A, f determines an element f(x) of B, and g determines an element g(f(x)) of C. In this way, for an element x of A, g(f(x)) of C is determined. This mapping is called a composition map of f and g, and is written as g°f.

Now, for two mappings f and f′ from A to B, if f(x) and f′(x) are equal for all elements x in A, then f and f′ are said to be equal as mappings, and written as f=f′. In this way, for the identity mapping, f・1 _A =1 _B・f=f, and when f is bijective, for the inverse mapping f ^-1 , f゜f ^-1 =1 _B and f ^-1゜f=1 _A hold. Furthermore, if h is a mapping from C to D, then h゜g is a mapping from B to D, but for the two different composed mappings from A to D, that is, h゜(g゜f) and (h゜g)゜f, the associative law holds that h゜(g゜f)=(h゜g)゜f, both of which map any element x in A to an element h(g(f(x))) in D. This is an important point about the composition of mappings. However, even if f°g is defined, g°f is not necessarily defined, and even if both are defined, they are not necessarily equal in general. In other words, the commutative law does not hold in general.

[Namba Kanji]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

風景と、レンズを通して得られるその像のように、ある対象の点を他の対象の点に写す、または対応させる仕方を写像というが、その考え方はもっと一般化されて、集合、位相空間、群とか体(たい)のような数学的対象においても用いられる。

　fが対象AからBへの写像（同様の意味で対応、関数とか射(しゃ)という語が用いられることがある）とは、Aの任意の元xに対して、fによって、Bのただ一つの元が定まるときで、このyのことをxのfによる像といい、x→f(x)とかy=f(x)のように記す。またfがAからBへの写像であることをf:A→BとかABのように記す。とくにAの相異なる元に対応するBの元が相異なるときfは一意写像または単射とよばれる。そしてBの任意の元がAの元の像となっているときfは全射とよばれる。特別な場合としてAの元xにそれ自身を対応させる写像1_Aは恒等写像とよばれている。恒等写像は全射であると同時に単射でもある。このような写像は全単射とよばれる。

　AからBへの写像fが全単射であるとき、Bの任意の元yに対してy=f(x)となるAの元xがただ一つ定まる。yにこのxを対応させる写像をf^-1と記して、fの逆写像とよぶ。もちろんAのすべての元についてf^-1(f(x))=xであり、Bのすべての元についてf(f^-1(y))=yである。

　AからBへの写像fについてf(x)が定まっているxの全体、この場合はAをfの定義域、そしてxが定義域を動くときのf(x)の全体の集合をfの値域とよぶ。したがって値域がBに一致する写像が全射である。たとえば、実数から実数への写像として、xにその平方x²を対応させる写像では、定義域は実数の全体、値域はゼロまたは正の実数の全体である。

　何個かの写像については合成写像という概念がたいせつである。たとえばfはAからBへの、gはBからCへの写像であるとき、Aの元xに対してfによってBの元f(x)が定まり、さらにgによってCの元g(f(x))が定まる。このようにしてAの元xに対してCの元g(f(x))が定まる。この写像をfとgの合成写像といいg゜fと記する。

　さてAからBへの二つの写像fとf′についてAのすべての元xについてf(x)とf′(x)が等しいときfとf′は写像として等しいといい、f=f′と記す。このようにすれば恒等写像についてはf・1_A=1_B・f=fであり、fが全単射のときは逆写像f^-1についてf゜f^-1=1_Bおよびf^-1゜f=1_Aが成立する。さらにhをCからDへの写像とすればh゜gはBからDへの写像であるが、二つの異なる仕方でのAからDへの合成写像、つまりh゜(g゜f)と(h゜g)゜fについては、Aの任意の元xに対して両方ともDの元h(g(f(x)))を対応させる写像としてh゜(g゜f)=(h゜g)゜fという結合法則（結合律）が成立する。この点は写像の合成の重要な点である。しかしながらf゜gが定義されていてもg゜fが定義されるとは限らず、両方とも定義されている場合でも一般には等しいとは限らない。つまり一般には交換法則（交換律）は成立しない。

［難波完爾］

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