Gaussian plane

Japanese: ガウス平面 - がうすへいめん

When complex number z = a + bi corresponds to point P(a,b) on the coordinate plane, there is a one-to-one correspondence between points on the plane and complex numbers. A plane considered by associating complex numbers in this way is called a Gaussian plane, or complex plane. P(a,b) is expressed as P(z) or simply z , and the x-axis is called the real axis and the y-axis is called the imaginary axis. It was Gauss who expressed complex numbers as points on a plane as an extension of real numbers being represented as points on a line, and graphically described their relationship with the four arithmetic operations.

For complex number z = a + bi

is called the absolute value of z and is denoted by | z |. When z≠0, the angle θ between the half line OP and the positive direction of the real axis is called the argument of z and is denoted by arg z . Usually, θ is limited to -π<θ≦π or 0≦θ<2π. Also, the argument of z ＝0 is not considered. arg is an abbreviation for argument ( Figure A ). If the absolute value | z | of the complex number z ＝a＋b i (≠0) is r and the argument arg z is θ, then a＝ r cosθ,b＝ r sinθ, and therefore z＝ r (cosθ＋ i sinθ)
This is called the polar form of z .

For complex _numbers z1 = _a1 + _b1i , z2 = _a2 + _b2i _, z1 + z2 ₌ ₍ _a1 + _a2 ) + ( _b1 + _b2 ) i
Therefore, z ₁ + z ₂ represent the vertices of the parallelogram formed by the origin O, point z ₁ , and point z _2. Also, since _{point -z 2} is the symmetric point of point z ₂ with respect to point O, point z ₁ - z ₂ can be obtained by forming a parallelogram from O, z ₁ , and -z ₂ ( Figure B ). When considering the product and quotient of complex numbers, the polar form is used.

z ₁ = r ₁ (cosθ ₁ + i sinθ ₁ ),
z ₂ = r ₂ (cosθ ₂ + i sinθ ₂ )
Then, using the addition theorem of trigonometric functions, z ₁ z ₂ ＝ r ₁ r ₂ {cos(θ ₁ ＋θ ₂ )＋ i sin(θ ₁ ＋θ ₂ )}
Therefore, since the absolute value of z ₁ z ₂ is r ₁ r ₂ and the argument is θ ₁ + θ ₂ , z ₁ z ₂ can be constructed from the initial two points z ₁ and z ₂ as follows. First, take point Q, which is obtained by rotating point z ₂ by θ ₁ around the origin. Next, take a point on the half line OQ, which is OQ multiplied by r _1. This point is z ₁ z ₂ ( Figure C ). Also,

Therefore, the point z ₁ / z ₂ can also be constructed by rotating and scaling in a similar manner.

[Terada Fumiyuki]

nth root of 1

For a natural number n, a complex number that satisfies x ⁿ = 1 is called the nth root of 1. There are exactly n nth roots of 1, and they can be expressed as follows.

To see that the nth root of 1 is like this, we use de Moivre's theorem. Express the solution of x ⁿ = 1 in polar form as x = r (cosθ + i sinθ) ( r > 0, 0 < θ < 2π).
Then, according to de Moivre's theorem, r ⁿ (cosnθ＋ i sinnθ)＝1
Considering the absolute value and argument, r ⁿ ＝1, nθ＝2 k π
If we place these points on a Gaussian plane, they will divide the unit circle into n equal parts, as shown in Figure D. In particular, the number when k = 1 is

Taking, the n-th root of 1 is 1,ε,ε ¹ ,ε ² ,……,ε ^n-1
It can be seen that it is a cyclic group of order n with ε as a generating element. If you connect the points on the Gaussian plane that represent the nth root of 1 in order, you will obtain a regular n-gon. In particular, when n = 17, constructing a regular heptadecagon means constructing the 17th root of 1, and the 19-year-old Gauss discovered how to do this by solving x ¹⁷ = 1. This is said to have been the starting point that led Gauss to study mathematics.

[Terada Fumiyuki]

[Reference] | Cyclotomic polynomials | Complex numbers

Gaussian plane (Figure A)
©Shogakukan ">

Gaussian plane (Figure A)

Gaussian plane (Figure B)
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Gaussian plane (Figure B)

Gaussian plane (Figure C)
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Gaussian plane (Figure C)

Gaussian plane (Fig. D)
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Gaussian plane (Fig. D)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

座標平面上の点P(a,b)に、複素数z＝a＋biを対応させると、平面上の点と複素数とが1対1に対応づけられる。このようにして複素数を対応づけて考えた平面をガウス平面、または複素平面という。P(a,b)をP(z)あるいは単にzと表し、x軸を実軸、y軸を虚軸という。実数が直線上の点で表されることの拡張として、複素数を平面上の点で表し、四則演算との関係を図形的に述べたのはガウスである。

　複素数z＝a＋biに対して

をzの絶対値といい|z|で表す。またz≠0のとき半直線OPと実軸の正の方向とのなす角θをzの偏角といい、argzで表す。普通は、θを－π＜θ≦πまたは0≦θ＜2πに限ることが多い。また、z＝0の偏角は考えない。argはargumentの略である（図A）。複素数z＝a＋bi(≠0)の絶対値|z|をr、偏角argzをθとすると、a＝rcosθ,b＝rsinθとなるので
　　z＝r(cosθ＋isinθ)
と表される。これをzの極形式という。

　複素数z₁＝a₁＋b₁i，z₂＝a₂＋b₂iに対して
　　z₁＋z₂＝(a₁＋a₂)＋(b₁＋b₂)i
であるから、z₁＋z₂は原点O、点z₁、点z₂からつくられる平行四辺形の頂点を表す。また点－z₂は点Oに関する点z₂の対称点であるから、点z₁－z₂はO、z₁、－z₂から平行四辺形をつくればよい（図B）。複素数の積と商を考えるときには、極形式を用いる。

　　z₁＝r₁(cosθ₁＋isinθ₁),
　　z₂＝r₂(cosθ₂＋isinθ₂)
とすると、三角関数の加法定理を用いて
　　z₁z₂＝r₁r₂｛cos(θ₁＋θ₂)＋isin(θ₁＋θ₂)｝
となる。そこでz₁z₂は、絶対値がr₁r₂で、偏角がθ₁＋θ₂であるから、初めの2点z₁、z₂からz₁z₂を作図するには、次のようにすればよい。まず、点z₂を原点の周りにθ₁だけ回転した点Qをとる。次に半直線OQ上に、OQをr₁倍した点をとる。その点がz₁z₂である（図C）。また、

であるから、点z₁/z₂も、同様に回転と伸縮によって作図することができる。

［寺田文行］

1のn乗根

自然数nに対して、xⁿ＝1を満たす複素数を1のn乗根という。1のn乗根はちょうどn個あって、それらは次のように表される。

1のn乗根がこのようになることをみるには、ド・モアブルの定理を用いる。xⁿ＝1の解を極形式で表して
　　x＝r(cosθ＋isinθ) (r＞0，0≦θ＜2π)
とすると、ド・モアブルの定理から
　　rⁿ(cosnθ＋isinnθ)＝1
となり、これから絶対値と偏角を考えて
　　rⁿ＝1, nθ＝2kπ
となる。これらをガウス平面上にとると、図Dに示したように、単位円をn等分する点になる。このうちとくにk＝1のときの数

をとると、1のn乗根は
　　1,ε,ε¹,ε²,……,ε^n-1
となり、εを生成要素とする位数nの巡回群であることがわかる。1のn乗根を表すガウス平面上の点を順に結ぶと正n角形が得られる。とくにn＝17のとき、正十七角形を作図するということは、1の17乗根を作図するということであり、19歳の青年ガウスは、x¹⁷＝1の解法によってその作図方法を発見した。これがガウスをして数学の研究に向かわしめた発端であったといわれている。