Riemann integral

A method of integration based on the definition given by the German mathematician Riemann.

Let f(x) be a bounded function given in the interval [a,b].Furthermore, divide the interval [a,b] into smaller intervals _x1 , _x2 , …, xn _-1 (where _x0 = a, _xn = b), and let the division be Δ ((1) in the figure ).Then, arbitrarily choose a point _ξk ( _xk-1 ≦ _ξk ≦ _xk ) within each small interval, and consider the following sum S( Δ ).

S( Δ )=f(ξ ₁ )(x ₁ -x ₀ )+f(ξ ₂ )
(x ₂ -x ₁ )+……+f(ξ _n )(x _n -x _n-1 )
(The sum of the areas of the rectangles in the figure (2))
And, no matter how the division Δ is chosen, and no matter how the point ξ _k is chosen from each small interval, if the width of the small intervals that make up the division Δ is uniformly reduced (i.e., the maximum of x _k -x _k-1 (k=1,2,……,n) is brought closer to 0, where of course n→∞), when S( Δ ) approaches a certain value I, it is said that f(x) is Riemann integrable,

It is expressed as:

After giving this definition, Riemann showed that monotonic functions are Riemann integrable (1854), and it was Heine who showed that continuous functions are Riemann integrable (1874).

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

ドイツの数学者リーマンの与えた定義による積分の方法。

　f(x)は、区間［a,b］で与えられた有界な関数であるとする。さらに、区間［a,b］を分点x₁,x₂,……,x_n-1（x₀=a,x_n=bとする）によって細分し、その分割をΔとする（図の(1)）。そして、各小区間内に一点ξ_k(x_k-1≦ξ_k≦x_k)を任意にとり、次の和S(Δ)を考える。

S(Δ)=f(ξ₁)(x₁-x₀)+f(ξ₂)
(x₂-x₁)+……+f(ξ_n)(x_n-x_n-1)
（図の(2)の長方形の面積の和）
　そして、どのように分割Δをとり、またどのように点ξ_kを各小区間から選んでも、分割Δを構成する小区間の幅を一様に小さくしていけば（すなわちx_k-x_k-1(k=1,2,……,n)の最大のものを0に近づける、このときもちろんn→∞）、S(Δ)がある一定の値Iに近づくとき、f(x)はリーマン積分可能であるといい、

で表す。

　リーマンはこの定義を与えたのち、単調関数はリーマン積分可能であることを示した（1854）。連続関数がリーマン積分可能であることを示したのは、ハイネである（1874）。

［竹之内脩］

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