Projectile motion

The motion of an object thrown into space with uniform gravity will follow a parabola if air resistance is ignored.

Consider the motion of an object with mass m (strictly speaking, a point mass) thrown in a direction that forms an angle of θ with the horizontal at a speed of v ₀ ( Figure ). Newton's equation of motion at any point on the trajectory is divided into the horizontal ( x -axis) and vertical ( y -axis) directions because gravity (= m g, where g is the gravitational acceleration) always acts only in the vertical direction:
m dv _x / dt = 0,
m・dv _y / dt = - m・g
where the subscripts x and y designate the components of the velocity vector v , and t is the time variable. These can be easily integrated to obtain v _x = c ₁ ,
v _y ＝ _－g・t ＋ c2
_The constants c1 and c2 are determined by giving _the velocity vector v0 ₌ ( v0 cosθ, _{v0 sinθ} ) at time zero,
v _x ＝ v ₀ cosθ,
v _y ＝－g・t ＋ v ₀ sinθ
These give the velocity of the mass at any time t . The position of the mass at that time is further expressed by the differential equation dx / dt = v _x = v ₀ cosθ,
dy / dt = v _y = -g・t + v ₀ sinθ
Integrating,
x = v ₀ cosθ t + d ₁ ,
y = -g・t ² /2+ v ₀ sinθ・t + d ₂
Here, if we consider that at time zero the mass point is at the origin, i.e., x = y = 0, the integral constants become d ₁ = d ₂ = 0. From the above, we can see that the mechanical state of motion, i.e., position and velocity, of a mass point thrown into space at any time can be uniquely determined as a function of t . This is generally true in classical mechanics. If a force acting on a mass point is given, the future mechanical state (position and velocity) of that mass point is uniquely determined by the values ​​at a certain time (for example, t = 0). This is called the law of causality in classical mechanics.

The orbit of the mass is given by : y = x tan θ - g x ² /2 v ₀ ² cos ² θ
This is what is called a parabolic curve. The distance to the highest point D is the value of x where y = 0 again, so it is given by x = v ₀ ² sin2θ/g, and the height of the highest point H is the value of y where dy / dx = 0, so it is given by y = v ₀ ² sin ² θ/2g.

[Yasuhisa Abe]

"Ability Physics: Movement of Objects" by Tetsuho Iijima, Takayuki Sasaki, and Takashi Aoyama (1999, Kyoritsu Publishing)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

一様な重力のある空間に投げ出された物体の行う運動で、空気による抵抗を無視した場合その軌跡は放物線を描く。

　質量mの物体（厳密には質点）が、水平とθの角をつくる方向に速さv₀で投げられた場合の運動を考察する（図）。軌道上の任意の点でのニュートンの運動方程式は、重力（＝m・gここでgは重力加速度）がつねに垂直方向にのみ作用していることから、水平（x軸）と垂直（y軸）の方向に分けられ、
　　m・dv_x/dt＝0,
　　m・dv_y/dt＝－m・g
である。ここで添字xおよびyは、速度ベクトルvの各成分を指定し、tは時間変数である。これらは簡単に積分できて
　　v_x＝c₁,
　　v_y＝－g・t＋c₂
で与えられる。定数c₁およびc₂は、時刻ゼロでの速度ベクトルv₀＝(v₀cosθ,v₀sinθ)を与えることによって決められ、
　　v_x＝v₀cosθ,
　　v_y＝－g・t＋v₀sinθ
となる。これらは、任意の時刻tにおける質点の速度を与える。そのときの質点の位置はさらに微分方程式
　　dx/dt＝v_x＝v₀cosθ,
　　dy/dt＝v_y＝－g・t＋v₀sinθ
を積分して、
　　x＝v₀cosθ・t＋d₁,
　　y＝－g・t²/2＋v₀sinθ・t＋d₂
で与えられる。ここで時刻ゼロで質点が原点、すなわちx＝y＝0であることを考慮すると、積分定数はd₁＝d₂＝0となる。以上のことから、空間に投げられた質点の任意の時刻における力学的運動状態、すなわち位置と速度がtの関数として一義的に決められることがわかる。このことは古典力学で一般的に成り立つことである。質点に働く力が与えられているならば、その質点の将来の力学的状態（位置と速度）は、ある時刻（たとえばt＝0）での値によって一義的に決まる。これを古典力学の因果律という。

　質点が描く軌道は、xとyの式からtを消去して、xとyの関係を求め
　　y＝x・tanθ－g・x²/2v₀²cos²θ
となり、いわゆる放物曲線となる。最大到達点Dまでの距離は、ふたたびy＝0となるxの値であるから、x＝v₀²sin2θ/gで与えられ、最高到達点Hの高さは、dy/dx＝0となる点のyの値であるから、y＝v₀²sin²θ/2gで与えられる。

［阿部恭久］

『飯島徹穂・佐々木隆幸・青山隆司著『アビリティ物理　物体の運動』（1999・共立出版）』

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