Complex number - fuukusosuu (English spelling) complex number

Japanese: 複素数 - ふくそすう（英語表記）complex number

A complex number is a number that can be expressed in the form a + bi , where a and b are real numbers and i is the imaginary unit. The real numbers that satisfy x ² = 1 are 1 and -1, but there is no real number that satisfies x ² = -1. If we limit the range of numbers to only real numbers, then the quadratic equation ax ² + bx + c = 0, which has real coefficients, can either have a solution or not. In order to remove this disharmony, new numbers called complex numbers are introduced. First, we consider a new number that satisfies i ² = -1, and generally consider a number that can be expressed as a + bi , where a and b are real numbers. Then, equality and sum/product are defined as follows:

(1) a + bi = c + di means a = c , b = d
(2)( a + bi ) + ( c + di )
= ( a + c ) + ( b + d ) i
(3)( a + bi )・( c + di )
= ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i
Subtraction and division are defined as the inverse operations of this operation. The new number with equality and operations defined in this way is a complex number. When b = 0 in a + bi , it is a real number, and when b ≠ 0 it is an imaginary number, and in particular when a = 0, b ≠ 0 it is called a pure imaginary number. Additionally, the complex number a - bi is called the conjugate complex number of the complex number a + bi . The conjugate complex number of a - bi is a + bi .

By taking a broad approach to numbers in this way, we can see that the quadratic equation ax ² + bx + c = 0 always has a complex solution, not only when a , b , and c are real numbers, but also when they are complex numbers. Gauss not only dealt with quadratic equations, but also with n- th degree equations in general, such as a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n -1} + ... + a _n = 0
proved that it has exactly n complex solutions, including multiple solutions. This is called the Fundamental Theorem of Algebra.

Besides Cardano, several other mathematicians are credited with discovering the formula for the general solution of cubic equations, but it was in Italy in the 16th century that they discovered it. For mathematicians at that time, the range of numbers was real numbers, and the formula for the solution of cubic equations was naturally based on that premise. However, it is said that when Cardano's formula was applied to a cubic equation that was known to have an integer solution, he discovered that it was necessary to consider a number that would be negative when squared. This was the first time that complex numbers appeared on the surface of the history of mathematics, but for a long time people still refused to accept imaginary numbers. It was Gauss who logically constructed it. In the same way that real numbers were associated with points on a line, Gauss associated complex numbers with points on a plane. He associated the complex number a + bi with the point ( a , b ) on the plane. He then explained the four arithmetic operations of complex numbers by moving the points on the plane. For example, multiplying the complex number a + bi by the imaginary unit i means rotating the point a + bi 90 degrees around the origin. In this way, what was once called imaginary numbers came to be seen as numbers that give people a sense of security. The plane that corresponds to complex numbers is called the Gaussian plane, or complex plane.

As with the solution of quadratic equations, the introduction of complex numbers provides a unified theory of other areas of mathematics. For example, the differential equation ay "( x ) + by '( x ) + cy ( x ) = 0, with constant coefficients a , b , and c :
Let α and β be the solutions to the quadratic equation at ² + bt + c = 0 for t . The solution is y ( x )＝ c ₁ e ^αx ＋ c ₂ e ^βx , including the case where α and β are imaginary numbers.
When α is an imaginary number, e ^αx is a complex-valued function. Cauchy extended the theory of differential and integral calculus to the field of complex numbers, and constructed a theory that is now called function theory. As a result, various properties of differential and integral calculus that could not be explained if it were limited to the range of real numbers can now be explained through complex numbers.

[Terada Fumiyuki]

Complex Number Representation of Natural Phenomena

Complex numbers are very commonly used to describe natural phenomena, and their usefulness is known in almost all fields of physics. For example, they are indispensable for describing electrical and magnetic phenomena, fluid motion, wave phenomena, and microscopic phenomena such as atoms, molecules, atomic nuclei, and elementary particles. As an example of the simplest and most commonly used complex function in physics, let us take the exponential function e ^{i θ} . e is a number known as the base of natural logarithms, and is 2.71828.... Combined with the convenient property that the derivative, or differential coefficient, of the function e ^x is itself ( d e ^x / dx = e ^x ), the exponential function e ^{i θ} is extremely useful. z = e ^{i θ} is a circle of radius 1 on the complex plane, so if the variable θ is given as a function of time t , θ = ω t , it describes the rotational motion with angular velocity ω. Since e ^{i θ} = cos θ + i sin θ, this motion becomes periodic when viewed on the real axis ( x -axis) or imaginary axis ( y- axis). In fact, the motion of a mass ^point of mass m connected to a spring that obeys Hooke's law (where ^the restoring force is proportional to the displacement) is described by m ( d2x / dt2 )＋ kx ＝0 (where k is a positive constant), and the solution is

It is easy to see from the properties of exponential functions that

where a and δ are constants determined by the conditions at time zero. Furthermore, if there is a resistance force proportional to the velocity, ω can be solved as a complex number. With the proportionality coefficient of the resistance force set to α, the equation of motion becomes:
m ( d ² x / dt ² ) + α ( dx / dt ) + kx = 0
So, if we put x = ae ^{i (ω t + δ)} ,

When the resistance is small,

which represents an oscillation that decays over time.

Similarly, complex numbers are also useful for describing the movement of charges in electrical circuits that include resistors and capacitors.

Usually, the quantities (measurements) we deal with are real numbers, so the use of complex numbers is considered merely convenient; however, in quantum mechanics and field theory, which describe the microscopic world, complex numbers are used in the equations of motion and in the description of states themselves, and play a more essential role.

[Yasuhisa Abe]

"Complex Numbers Useful for Physics" by Okazaki Makoto (1995, Maruzen)" ▽ "An Invitation to Complex Numbers" by Miyanishi Masayoshi and Masuda Kayo (1998, Nippon Hyoronsha)" ▽ "The World of Complex Numbers" edited by Ueno Kenji, Namikawa Yukihiko and Takahashi Yoichiro (1999, Nippon Hyoronsha)" ▽ "Understanding the Mathematical Physics of Imaginary and Complex Numbers" by Tsuzuki Takuji (2000, Kodansha)"

[Reference] | Gaussian plane | Function theory

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

a、bを実数、iを虚数単位とするとき、a＋biの形で表される数をいう。x²＝1を満たす実数は1と－1であるが、x²＝－1を満たす実数は存在しない。そこで数の範囲を実数だけに限っておくと、実数を係数とする二次方程式ax²＋bx＋c＝0は解をもつ場合ともたない場合とに分かれる。この不調和をとり除くために、複素数という新しい数を登場させる。まず、i²＝－1を満たす新しい数を考え、一般にa、bを実数として、a＋biと表される数を考える。そして、相等と和積を次のように定める。

(1)a＋bi＝c＋diとはa＝c,b＝dのこと
(2)(a＋bi)＋(c＋di)
　　　　＝(a＋c)＋(b＋d)i
(3)(a＋bi)・(c＋di)
　　　　＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
減法と除法はこの演算の逆演算として定める。相等と演算をこのように定めた新しい数が複素数である。a＋biでb＝0のときが実数であり、b≠0のとき虚数、とくにa＝0,b≠0のときを純虚数という。また、複素数a－biを複素数a＋biの共役複素数という。a－biの共役複素数はa＋biである。

　このように数の考え方を広くとると、二次方程式ax²＋bx＋c＝0は、a、b、cが実数のときばかりでなく、複素数の場合にもつねに複素数の解をもつことがわかる。ガウスは二次方程式ばかりでなく、一般にn次方程式
　　a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_n＝0
は重複解も含めて、ちょうどn個の複素数解をもつことを証明した。これは代数学の基本定理とよばれている。

　三次方程式の一般解の公式を発見した数学者として、カルダーノのほかに数名の名があげられているが、その発見の場は16世紀のイタリアであった。当時の数学者にとって数の範囲は実数であり、三次方程式の解の公式も当然その前提でなされていた。ところが、まえもって整数解をもつことがわかっている、ある三次方程式について、カルダーノの公式を当てはめてみた結果、どうしても2乗して負になる数を考えなければならないことを発見したといわれている。これが数学の歴史の表面に複素数が登場した初めであるが、なお長い間、人々は虚数を認めようとはしなかった。それを論理的に構成したのがガウスである。実数を直線上の点に対応させたと同じ方法で、ガウスは複素数を平面上の点に対応させた。複素数a＋biに、平面上の点(a,b)を対応させるのである。そして、複素数の四則を平面上の点の移動によって説明した。たとえば、複素数a＋biに虚数単位iを掛けるということは、点a＋biを原点の周りに90度回転させることを意味する。このようにして虚数imaginary numberつまり想像上の数とよばれていたものが、見える数として人々に安心感を与えるようになったことになる。複素数に対応させられた平面をガウス平面、または複素平面という。

　二次方程式の解を考えた場合と同様に、複素数を導入することによって、数学の他の分野も統一的に理論化される。たとえば、定数a、b、cを係数とする微分方程式
　　ay"(x)＋by'(x)＋cy(x)＝0
で、tの二次方程式at²＋bt＋c＝0の解をα、βとするとき、α、βが虚数の場合も含めて、解が
　　y(x)＝c₁e^αx＋c₂e^βx
と表される。αが虚数のとき、e^αxは複素数値の関数である。コーシーは、微分積分学の理論を複素数体上に拡張し、今日、関数論とよばれる理論を建設した。それによって、実数の範囲に限定していては説明のつかない微分積分学上のいろいろな性質が、複素数を経由することによって説明されることにもなったのである。

［寺田文行］

自然現象の複素数表示

自然現象を記述する際に、複素数はきわめてよく使用され、その有用性は物理学のほとんどすべての分野で知られている。たとえば、電気・磁気に関する現象、流体の運動、波動現象をはじめ、原子・分子・原子核・素粒子などの微視的世界の現象の記述に欠くことができないものとなっている。物理学でもっとも簡単でかつよく使われる複素関数の例として、指数関数e^iθを取り上げてみる。eは、自然対数の底として知られている数で、2.71828……である。関数e^xの導関数すなわち微分係数がそれ自身である(de^x/dx＝e^x)という便利な性質と相まって、指数関数e^iθはきわめて有用である。z＝e^iθは、複素平面上の半径1の円であるから、もし変数θが時間tの関数としてθ＝ωtで与えられると、角速度ωの回転運動を記述する。e^iθ＝cosθ＋isinθであるから、この運動を実軸（x軸）上または虚軸（y軸）上でみれば周期運動となる。実際、フックの法則（復元力が変位に比例する）に従うばねに結ばれた質量mの質点の運動は、m(d²x/dt²)＋kx＝0（kは正の定数）で記述され、その解が

で与えられることは、指数関数の性質から容易に示される。ここで

で、aおよびδは時刻ゼロのときの条件で決まる定数である。さらに、速度に比例する抵抗力がある場合も、ωを複素数として解くことができる。抵抗力の比例係数をαとして運動方程式は、
　m(d²x/dt²)＋α(dx/dt)＋kx＝0
で、x＝ae^i(ωt＋δ)と置くと、

のとき解となる。抵抗力が小さいとき、

となり、時間とともに減衰する振動を表す。