Inverse trigonometric functions

A general term for the inverse functions of trigonometric functions. Trigonometric functions, for example, find the value of y as x changes, such as sin30°, sin45°, sin60°, etc. when y = sin x . Inverse trigonometric functions find the value of x (angle) when the value of a changes to 1/2, 1/, /2, etc. when sin x = a . There are inverse trigonometric functions that correspond to the trigonometric functions sine, cosine, and tangent, but here we will consider three: the arcsine function, arccosine function, and arctangent function. Note that consideration of inverse trigonometric functions is important in differential and integral calculus, so angles are measured in radians.

(1) The inverse sine function sin x takes values ​​between -1 and 1. When considering an inverse function, the domain must be restricted to a range in which this function is one-to-one. The interval for this purpose is -π/2≦ x ≦π/2
Within this interval, sin x increases from -1 to 1. Therefore, for b that satisfies -1≦ b ≦1, there is a unique a that satisfies b ＝sin a . By associating this with b, the inverse function a ＝sin ^-1 b (sin ^-1 b is read as inverse sine b) is determined. The graph of y ＝sin ^-1 x is the graph of y ＝sin x symmetrically folded about the line y＝x ( Figure A ). y ＝sin ^-1 x is a continuous function that increases from -π/2 to π/2, defined in -1≦ x ≦1. It is differentiable, and its derivative is,

The general value of x that satisfies b＝sinx is x＝ n π＋(－1) ⁿ sin ^-1 b
( n = 0, ±1, ±2, …)
is given by:

(2) If we consider the domain of the inverse cosine function cos x as 0≦ x ≦π, then this function decreases from 1 to -1 within this interval. Therefore, we obtain the inverse function y ＝cos ^-1 x with the domain -1≦ x ≦1. y ＝cos ^-1 x is a continuous function that decreases from π to 0 defined in -1≦ x ≦1 ( Figure B ). It is differentiable, and its derivative is

The general value of x that satisfies b ＝cos x is x ＝2 n π±cos ^-1 b
( n = 0, ±1, ±2, …)
Also, sin ^-1 x + cos ^-1 x = π/2.

(3) The arctangent function tan x is an increasing function that takes all real values ​​in the range -π/2 < x < π/2. Hence, the inverse function y = tan ^-1 x is a continuous function that increases from -π/2 to π/2, defined for all real values ​​( Figure C ). It is differentiable, and its derivative is y' = 1/(1 + x ² ). The general values ​​of x that satisfy b = tan x are
x = nπ＋tan ^-1 b (n=0,±1,±2,……)
is given by:

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

三角関数の逆関数の総称。三角関数は、たとえばy＝sinxにおいてsin30゜, sin45゜, sin60゜,…のようにxの変化に伴うyの値を求めることになるが、逆三角関数は、この逆にsinx＝aにおいてaの値が1/2, 1/, /2……と変化するときのxの値（角）を求める。三角関数の正弦、余弦、正接のそれぞれに対応する逆三角関数があるが、ここでは、逆正弦関数、逆余弦関数、逆正接関数の三つについて考えることにする。なお、逆三角関数の考察が重要となるのは、微分積分法においてであるので、その意味で角は弧度法（ラジアン）を用いる。

(1)逆正弦関数　sinxは－1から1までの間の値をとる。逆関数を考える場合は、この関数が1対1であるような範囲に制限して定義域をとらねばならない。そのための区間として
　　－π/2≦x≦π/2
をとる。この区間内でsinxは－1から1まで増加する。したがって、－1≦b≦1を満たすbに対して、b＝sinaを満たすようなaがただ一つ定まる。これをbに対応させることによって、逆関数a＝sin^-1b（sin^-1bは、インバース・サインbと読む）が定まる。y＝sin^-1xのグラフはy＝sinxのグラフを直線y＝xに関して対称に折り返したものである（図A）。y＝sin^-1xは－1≦x≦1において定義された－π/2からπ/2まで増加する連続関数である。それは微分可能で、導関数は、

である。b＝sinxを満たす一般のxの値は
　　x＝nπ＋(－1)ⁿsin^-1b
　　　(n＝0,±1,±2,……)
で与えられる。

(2)逆余弦関数　cosxの定義域を0≦x≦πで考えると、この関数はこの区間内で1から－1まで減少する。したがって－1≦x≦1を定義域とする逆関数y＝cos^-1xが得られる。y＝cos^-1xは－1≦x≦1において定義されたπから0まで減少する連続関数である（図B）。それは微分可能で、導関数は

である。b＝cosxを満たす一般のxの値は
　　x＝2nπ±cos^-1b
　　　(n＝0,±1,±2,……)
で与えられる。また、sin^-1x＋cos^-1x＝π/2である。

(3)逆正接関数　tanxは－π/2＜x＜π/2においてすべての実数値をとる増加関数である。ゆえに、逆関数y＝tan^-1xは、すべての実数値に対して定義された－π/2からπ/2まで増加する連続関数である（図C）。それは微分可能で、導関数はy′＝1/(1＋x²)である。b＝tanxを満たす一般のxの値は、
　　x＝nπ＋tan^-1b (n＝0,±1,±2,……)
で与えられる。

［竹之内脩］

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