Probability distribution - Kakuribu-mpu

When a random variable X is given, for any interval I, the probability Φ(I)＝P(X∈I) that the value of X belongs to I is determined. This Φ is called the probability distribution of X, or simply the probability distribution. Among the probability distributions, the binomial distribution, the Poisson distribution, and the normal distribution are particularly important. Please see the respective items for more information on these.

In at most a countable set A = {a ₁ , a ₂ , …}

A probability distribution such that:

When this holds, the distribution is called a continuous distribution, and f(x) is called the probability density or density function.

Below are some examples of probability distributions.

(1) Uniform distribution When the random variable X has a finite number of values ​​and the probability of each value being taken is equal, that is, when P(X = _ai ) = 1/n (i = 1, ₂ , ..., n), where _a1 , a2, ..., _an are distinct real numbers, the probability distribution of X is called a discrete uniform distribution.

(2) Hypergeometric distribution When r balls are drawn from a bag containing n red balls and N-n black balls, if the number of red balls contained therein is X, the probability distribution of X is given by the following equation.

Here, k ranges from 0≦k≦n, 0≦r－k≦N－n. This probability distribution is called the hypergeometric distribution. This name comes from the series

is expressed as a hypergeometric series.

(3) Pascal distribution/geometric distribution Let p be the probability that an event E occurs in a trial. If we repeat this trial independently and denote by Y the number of times that event E does not occur before it has occurred r times, then the probability distribution of Y is P(Y＝k)＝ _r-1+k C _k q ^k p ^r (k＝0,1,2,……) where q＝1－p.
This probability distribution is called the Pascal distribution. In particular, the case where r = 1 is sometimes called the geometric distribution.

(4) Negative binomial distribution In the Pascal distribution, r was a positive integer. If r is a positive real number α,

The probability distribution given by is called the negative binomial distribution. This name comes from the series obtained from the binomial expansion when each term has a negative exponent.

This is because each term is

The above examples (1) to (4) are discrete distributions. Here are some examples of continuous distributions:

(5) For a uniform distribution a < b, the probability density is

The distribution given by is called a continuous uniform distribution.

(6) Cauchy distribution: Probability density is

The distribution given by is called the Cauchy distribution.

(7) Exponential distribution Probability density is f(x)＝(1/2)e ^-|x|
The distribution given by is called the exponential distribution.

(8) Gamma distribution: λ＞0,α＞0, the probability density is

The distribution given by is called the gamma distribution, where Γ(λ) is the gamma function.

(9) Log-normal distribution When the distribution of the random variable X is normal distribution N(m,σ ² ), the distribution of the random variable Y＝ ^ex is called log-normal distribution. The probability density is given by the following formula.

(where expA represents ^eA )
This distribution appears in economic statistics, such as the distribution of income. For any sample from a population with this distribution, the geometric mean is important.

(10) ^χ2 distribution, t distribution, F distribution ^χ2 distribution is read as chi-square distribution. For these distributions, see the section on sampling distribution.

In the gamma distribution in (8) above, if λ = n/2 and α = 1/2, where n is a positive integer, then this becomes a ^χ2 distribution with n degrees of freedom.

[Shigeru Furuya]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

確率変数Xが与えられると、任意の区間Iに対して、Xの値がIに属する確率Φ(I)＝P(X∈I)が決まる。このΦをXの確率分布、または単に確率分布という。確率分布のうちでとくに重要なものは二項分布、ポアソン分布、正規分布である。これらについてはそれぞれの項目をみられたい。

　たかだか可算集合A＝｛a₁,a₂,……｝において

であるような確率分布を離散分布という。また、有限個の点を除いて連続な関数f(t)≧0があって、任意の実数xに対して

が成り立つとき、この分布を連続分布といい、f(x)を確率密度または密度関数という。

　以下、確率分布の例をあげる。

(1)一様分布　確率変数Xのとる値が有限個であって、どの値をとる確率も等しいとき、すなわち、a₁、a₂、……、a_nを相異なる実数として、P(X＝a_i)＝1/n(i＝1,2,……,n)のとき、Xの確率分布を離散型の一様分布という。

(2)超幾何分布　赤球がn個、黒球がN－n個入っている袋の中からr個の球を取り出したとき、そのなかに含まれている赤球の個数をXとすると、Xの確率分布は次式で与えられる。

ただしkは0≦k≦n、0≦r－k≦N－nの範囲を動くものとする。この確率分布を超幾何分布という。この名称は、級数

が超幾何級数で表されることに基づく。

(3)パスカル分布・幾何分布　ある試行において事象Eのおこる確率をpとする。この試行を独立に繰り返すことにして、事象Eがr回おこるまでにEがおこらなかった回数をYで表すと、Yの確率分布は、q＝1－pとして
　　P(Y＝k)＝_r-1+kC_kq^kp^r (k＝0,1,2,……)
となる。この確率分布をパスカル分布という。とくにr＝1の場合を幾何分布ということもある。

(4)負の二項分布　前記のパスカル分布においてrは正の整数であった。rを正の実数αとした場合

で与えられる確率分布を負の二項分布という。この名称は、各項が指数が負である場合の二項展開から得られる級数

の各項になっているからである。

　前記の例(1)～(4)は離散分布である。次に連続分布の例をあげる。

(5)一様分布a＜bとして、確率密度が

で与えられる分布を連続型の一様分布という。

(6)コーシー分布　確率密度が

で与えられる分布をコーシー分布という。

(7)指数分布　確率密度が
　　f(x)＝(1/2)e^-|x|
で与えられる分布を指数分布という。

(8)ガンマ分布　λ＞0,α＞0として、確率密度が

で与えられる分布をガンマ分布という。ここでΓ(λ)はガンマ関数である。

(9)対数正規分布　確率変数Xの分布が正規分布N(m,σ²)であるとき、確率変数Y＝e^xの分布を対数正規分布という。確率密度は次の式で与えられる。

（ただしexpAはe^Aを表す）
この分布は所得の分布など経済統計に現れる。この分布をもつ母集団からの任意標本に対しては相乗平均が重要である。

(10)χ²分布、t分布、F分布　χ²分布はカイ二乗分布と読む。これらの分布については標本分布の項をみられたい。

　なお、前記(8)のガンマ分布において、nを正の整数としてλ＝n/2、α＝1/2と置いたものは自由度nのχ²分布である。

［古屋　茂］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例