Vector space - bekutorukuukan (English spelling) vector space

Japanese: ベクトル空間 - べくとるくうかん（英語表記）vector space

It is also called a linear space. It is a space with the same rules of addition and real multiplication as plane vectors. The rules of calculation are the following rules that apply to plane vectors and space vectors. Let a , b , and c be any vectors, and k and l be any real numbers. (1) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (2) a + 0 = 0 + a = a (3) a + (- a ) = (- a ) + a = 0 (4) a + b = b + a (5) k ( a + b ) = ka + kb (6) ( kl ) a = k ( la ) (7) ( k + l ) a = ka + la (8) 1 a = a Strictly speaking, when addition and real multiplication are defined for a set and the rules (1) to (8) apply to this set, this set is called a vector space. In this case, the elements of the set are called vectors.

Of course, the set of plane vectors and the set of space vectors are vector spaces in the sense just defined, but other examples include (1) the set of n- ary vectors, (2) the set of real-valued functions on a set, in particular the set of sequences, (3) various function spaces that appear in analysis, the set of continuous functions, the set of differentiable functions, the set of analytic functions, and (4) the set of polynomials in an indefinite element X.

[Ryoichi Takagi]

Linear Mapping

A mapping f between two vector spaces commutes with addition and real multiplication, i.e., f ( ka + lb ) = kf ( a ) + lf ( b ).
It is called a linear mapping when it satisfies the above. In particular, when the range of f is real, it is called a linear form. The orthogonal projection of plane vectors and space vectors is a linear mapping. Taking a derivative is a linear mapping from a differentiable function to a real-valued function. Taking a definite integral is a linear form from a continuous function.

[Ryoichi Takagi]

Isomorphism and Dimension

Two vector spaces are said to be isomorphic if there is a one-to-one correspondence between them through a linear mapping. A vector space that is isomorphic to an n - ary vector space is said to be finite-dimensional, with its dimension defined as n _. In this case, there exist vectors _a1 , a2 , …, an _that correspond to _the fundamental vectors e1 , e2 , …, en of _the n -ary vector space, and any vector can be expressed in a unique way as a linear combination of them, that is, in the form k1a1 ₊ _k2a2 ₊ …… + _knan . Such a _set _{of vectors a1} _, a2 , _… _, an is called a base of _the vector space.

[Ryoichi Takagi]

Matrices and Linear Maps

Let f be a linear mapping from an m -dimensional vector space V to an n -dimensional vector space W. Also, define _bases a1 _, a2 , ..., am _, and b1 , b2 _, _{..., bn} in _V and W , respectively.

f ( a _i )= F _{i 1} b ₁ + F _{i 2} b ₂ +……+ F _in b _n
( i =1,2,……, m )
Then, the value of any element k ₁ a ₁ +……+ k _m a _m in V by f is
f ( k ₁ a ₁ +……+ k _m a _m )
= k ₁ f ( a ₁ )+……+ k _m f ( a _m )
=( k ₁ F ₁₁ +……+ k _m F _{m 1} ) b ₁
+( k ₁ F ₁₂ +……+ k _m F _{m 2} ) b ₂
+……+( k ₁ F _{1 n} +……+ k _m F _mn ) b _n
and is completely determined by the value of each base vector f ( ai ). In this case, let f correspond to a matrix ( F _ij ) with n rows and m columns. Conversely, if an arbitrary matrix ( G _ij ) with n rows and m columns is given, then
g ( a _i )= G _{i 1} b ₁ +……+ G _in b _n
( i =1,2,……, m )
The linear mapping is determined by determining the values of each element of the base. In this way, a linear mapping between two finite-dimensional vector spaces has a one-to-one correspondence with a matrix by defining the base for each. In particular, a linear mapping from a finite-dimensional vector space to itself corresponds to a square matrix.

[Ryoichi Takagi]

Dual space

Given a vector space, there are many ways to start from it and construct a new vector space. Here, we will create what is called a dual vector space. Let V ^* be the set of linear forms in V. For any two elements, ψ, in V ^* , and any scalar k , we define two real-valued functions, +ψ and k , from V as (+ψ)( a )=( a )+ψ( a ).
(k)( a )=k(( a ))
Here, a is any element of V. In this case, +ψ and k are both elements of V ^* , so addition and real multiplication are defined for V ^* . Since rules (1) to (8) hold, V ^* is a vector space. This V ^* is called the dual space of V. Elements of V are called contravariant vectors, and elements of V ^* are called covariant vectors.

[Ryoichi Takagi]

Metric vector spaces

A vector space in which a function from two vectors to real numbers that satisfies the same calculation rules as the inner product of plane vectors is given is called a metric vector space. In a metric vector space, it is possible to measure the length of a vector and the angle between two vectors. The bases a ₁ , …, a _n of a metric vector space are said to be orthonormal when the length of each a _i is 1 and they are mutually orthogonal. In this case, the inner product of two vectors x ₁ a ₁ +……+ x _n a _n and y ₁ a ₁ +……+ y _n a _n is calculated as x ₁ y ₁ +……+ x _n y _n . A metric vector space can always be an orthonormal system.

[Ryoichi Takagi]

[Reference] | Tensor

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

線形空間ともいう。平面ベクトルと同じ計算法則を満たす加法と実数倍の定められた空間をいう。ここにいう計算法則とは、平面ベクトルや空間ベクトルに対して成立する以下の法則のことである。いまa、b、cを任意のベクトル、k、lを任意の実数とするとき、（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+0=0+a=a（3）a+(-a)=(-a)+a=0（4）a+b=b+a（5）k(a+b)=ka+kb（6）(kl)a=k(la)（7）(k+l)a=ka+la（8）1a=aしたがって厳密には、ある集合に加法と実数倍が定義されていて、これについて法則（1）～（8）が成り立つときに、この集合をベクトル空間ということになる。またこのとき集合の元をベクトルという。

　平面ベクトル、空間ベクトルの全体などは、もちろん、いま定義した意味でのベクトル空間であるが、他の例としては、〔1〕n項数ベクトルの全体、〔2〕一つの集合上の実数値関数の全体、とくに数列の全体、〔3〕解析学に現れるさまざまな関数空間、連続関数全体、微分可能な関数の全体、解析関数の全体、〔4〕不定元Xについての多項式全体などがある。

［高木亮一］

線形写像

二つのベクトル空間の間の写像fは、加法および実数倍と可換なとき、つまり
　　f(ka+lb)=kf(a)+lf(b)
を満たすとき、線形写像といわれる。とくに、fの値域が実数であるときは、線形形式といわれる。平面ベクトルや空間ベクトルの正射影は線形写像である。導関数をとることは、微分可能関数から実数値関数への線形写像をとることである。定積分を行うことは、連続関数からの線形形式である。

［高木亮一］

同形と次元

二つのベクトル空間は、線形写像による1対1対応がつくとき、同形であるという。n項数ベクトル空間と同形なベクトル空間は、有限次元であるといい、その次元をnと定める。このとき、n項数ベクトル空間の基本ベクトルe₁、e₂、……、e_nに対応するベクトルa₁、a₂、……、a_nが存在して、任意のベクトルはそれらの線形結合、すなわちk₁a₁+k₂a₂+……+k_na_nの形にただ一通りに表される。このようなベクトルa₁、a₂、……、a_nの組みを、ベクトル空間の一つの基という。

［高木亮一］

行列と線形写像

m次元ベクトル空間Vからn次元ベクトル空間Wへの線形写像fをとる。また、V、Wにそれぞれ基a₁、a₂、……、a_m、およびb₁、b₂、……、b_nを定めておく。

f(a_i)=F_i1b₁+F_i2b₂+……+F_inb_n
　　　(i=1,2,……,m)
であるとき、Vの任意の元k₁a₁+……+k_ma_mのfによる値は、
　f(k₁a₁+……+k_ma_m)
　=k₁f(a₁)+……+k_mf(a_m)
　=(k₁F₁₁+……+k_mF_m1)b₁
　+(k₁F₁₂+……+k_mF_m2)b₂
　+……+(k₁F_1n+……+k_mF_mn)b_n
となって、基の各ベクトルの値f(ai)によって完全に決まる。このときfにn行m列の行列(F_ij)を対応させる。逆に、任意のn行m列の行列(G_ij)が与えられると、
　g(a_i)=G_i1b₁+……+G_inb_n
　(i=1,2,……,m)
により基の各元の値を決めて、線形写像が定まる。このように二つの有限次元ベクトル空間の間の線形写像は、それぞれに基を定めることにより、行列と一対一に対応している。とくに、一つの有限次元ベクトル空間から自分自身への線形写像は正方行列に対応する。

［高木亮一］

双対空間

ベクトル空間が与えられると、そこから出発して、新しいベクトル空間を構成する方法が多数ある。ここでは、双対(そうつい)なベクトル空間といわれるものをつくってみよう。Vの線形形式全体をV^*と置く。V^*の任意の二元、ψと、任意のスカラーkに対して、Vからの二つの実数値関数、+ψ,kを
　　(+ψ)(a)=(a)+ψ(a)
　　(k)(a)=k((a))
と定める。ここに、aはVの任意の元である。このとき、+ψ,kはともにV^*の元になるからV^*に加法と実数倍が定義されたわけである。これについて、法則（1）～（8）が成り立つから、V^*はベクトル空間となる。このV^*をVの双対空間という。Vの元を反変ベクトル、V^*の元を共変ベクトルという。

［高木亮一］

計量ベクトル空間

内積、つまり平面ベクトルでいう内積と同じ計算法則を満たす二つのベクトルから実数への関数が与えられているベクトル空間を、計量ベクトル空間という。計量ベクトル空間では、ベクトルの長さや、二つのベクトルの間の角度を測ることができる。計量ベクトル空間の基a₁、……、a_nは、各a_iの長さが1で、互いに直交するとき正規直交系であるという。このとき二つのベクトルx₁a₁+……+x_na_n,y₁a₁+……+y_na_nの内積は、x₁y₁+……+x_ny_nと計算される。計量ベクトル空間にはかならず、正規直交系がとれる。