Ceva's theorem

In triangle ABC, let P be a point different from the vertex, and let D, E, and F be the intersections of AP, BP, and CP with the opposite sides, respectively. Then the product of the three ratios that divide each side internally or externally is 1. That is,

This is called Ceva's Theorem, a theorem published in 1678 by Italian mathematician Giovanni Ceva (1647?-1734). The converse of this theorem also holds true. That is, if there are three points D, E, and F on the three sides BC, CA, and AB of a triangle ABC, and the product of the three ratios mentioned above is 1, then the three lines AD, BE, and CF intersect at one point. However, when two of the three points are on the extensions of the sides, the three lines connecting the vertices may be parallel.

The theorem that shows that three lines intersect at one point is called the Concentric Theorem, and the converse of Ceva's Theorem is its basis. The centroid, orthocenter, and incenter of a triangle can be derived using the converse of Ceva's Theorem.

[Toshio Shibata]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

三角形ABCにおいて、頂点と異なる点をPとし、AP、BP、CPが対辺と交わるとき、その交点をそれぞれD、E、Fとすると、各辺を内分あるいは外分する三つの比の積が1になる。すなわち、

である。これをチェバの定理という。イタリアの数学者チェバGiovanni Ceva（1647？―1734）が1678年に発表した定理。この定理の逆も成り立つ。すなわち、三角形ABCの三辺BC、CA、AB上に3点D、E、Fがあり、前述の三つの比の積が1ならば、三直線AD、BE、CFは1点で交わる。ただし、3点のうち二つが辺の延長上にあるときは、頂点と結んでできる三直線が平行となることもある。

　三直線が1点で交わることを示す定理を共点定理というが、チェバの定理の逆はその基本となるものである。三角形の重心、垂心、内心など、チェバの定理の逆を用いて導くことができる。

［柴田敏男］

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