Simplex - Tantai (English spelling)

Japanese: 単体 - たんたい（英語表記）simplex

_A bounded convex set S with n +1 points (vectors) a0 , a1 , a2 , ..., _an in _an n -dimensional vector space is called _an n -dimensional simplex with a0 , _a1 , a2 , ..., _an as its vertices if _and only if a1 - _a0 , _a2 _{- a0} , _... , _an _- a0 are linearly independent vectors. _Each point x in an n - dimensional simplex can be represented in exactly one way by xΣλi _ai , where _Σλi = 1 ( _λi ≧ 0). In other words, an n -dimensional simplex is _the simplest convex set in an n - dimensional vector space. If _we consider a0 _, a1 , a2 , ..., an to be _the position vectors of n + 1 points _A0 , _A1 , _A2 , ..., _An in n- _dimensional Euclidean space, then a 0-dimensional simplex can be represented as the single point _A0 , a 1-dimensional simplex as a line segment with _A0 and _A1 as endpoints, a 2-dimensional simplex as a triangle with _A0 , _A1 , and _A2 as vertices, a 3-dimensional simplex as a tetrahedron with _A0 , _A1 , _A2 , and _A3 as vertices, and in general, an n -dimensional simplex can be represented as a figure with _A0 , _A1 , _A2 , ..., _An as vertices.

Single unit
Simple substance

A pure substance is a substance that consists of only one type of element and cannot be separated into two or more substances by normal physical or chemical methods. Pure substances are broadly divided into elements and compounds.

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Japanese:

n 次元ベクトル空間の n＋1 個の点 (ベクトル) a₀ ，a₁ ，a₂ ，…，a_n を頂点にもつ有界な凸集合 S は，a₁－a₀ ，a₂－a₀ ，…，a_n－a₀ が1次独立なベクトルであるとき，およびそのときに限り a₀ ，a₁ ，a₂ ，…，a_n を頂点にもつ n 次元単体といわれる。 n 次元単体の各点 x は，xΣλ_ia_i によってただ1通りに表わされる。ここに Σλ_i＝1 ( λ_i≧0 ) である。すなわち n 次元単体は，n 次元ベクトル空間における最も簡単な凸集合である。 a₀ ，a₁ ，a₂ ，…，a_n を，n 次元ユークリッド空間の n＋1 個の点 A₀ ，A₁ ，A₂ ，…，A_n の位置ベクトルと考えれば，0次元単体は1点 A₀ ，1次元単体は A₀ ，A₁ を端点とする線分，2次元単体は A₀ ，A₁ ，A₂ を頂点とする三角形，3次元単体は A₀ ，A₁ ，A₂ ，A₃ を頂点とする四面体，また一般に n 次元単体は，A₀ ，A₁ ，A₂ ，…，A_n を頂点とする図形として表わすことができる。