Exponential function

A function expressed as y = a ^x , where a > 0 and a ≠ 1, is called the base of the exponential function. When x is a natural number such as 1, 2, or 3, a ^x is a power of a , that is, a multiplied by x times.

a1 ⁼ a , a2 ⁼ a × a ,
a3 = ax ax a , ^……
For x = 0, define a ⁰ = 1. For example, 3 ⁰ = 1. When x is a negative integer, define a ^x = 1/ a ^-x . For example,
^10-1 = 1/10 = 0.1,
5 ^-2 = 1/5 ² = 0.04
Thus, for a ^x defined for an integer value x , the following exponent law holds:

(1) ^ax・^ay ＝ ax ^{+y
For example ,} a5 × a4 = a9
(2)( a ^x ) ^y = a x ^y
For example, (2 ^{^3} ) ^{^2} = 2 ^{^6} = 64
(3)( ab ) ^x = a ^x b ^x
For example, 6 ³ = (3×2) ³
= 3 ³ × 2 ³
When x is a rational number, x = n / m ( n is an integer, m is a positive integer), and a ^x is the m- th root of a ^n.

The laws of exponents still apply to this expanded exponent. For example,
8 ^2/3 =(2 ³ ) ^2/3 =2 ^3×2/3 =2 ² =4
To define a ^x when x is a real number, consider the following. Let us now assume that a > 1. In this case, for rational numbers x and x ' ( x < x '), a ^x < a ^x '. And,

Therefore, for a real number x , if r ₁ , r ₂ , … are a sequence of rational numbers that converge to x , then

It can be seen that there exists a limit value that is determined only by x , and does not depend on the rational number sequence that converges to x . Let this value be a ^x . In this way, a ^x is determined for all real numbers x , and the law of exponents also holds for this value. When 0 < a < 1, we can simply define a ^x = (1/ a ) ^{- x} . In the graph of y = a ^x , when a > 1, a ^x is an increasing function, and when x = 0, y = 1. And,

When 0 < a < 1, a ^x is a decreasing function, when x = 0, y = 1, and

The base of the exponential function is

We often use the number e , which is an infinite series.

It can also be obtained as the sum of

e ＝2.71828182845904523536……
Using this,

The differentiation and integration of exponential functions are as follows:

Here, log a is the natural logarithm of a .

is a series that converges for all complex values ​​of x , and so defines the value of e ^x when the exponent x is expanded to complex numbers.

If we put
e ^{i θ} ＝cosθ＋ i sinθ
This is called Euler's formula. For general complex numbers α＋ i β,
e ^α+iβ = e ^α (cosβ+isinβ)
It becomes.

e ^x is often written as exp x . Let us explain how to define exponential functions. In most analysis textbooks, after defining the exponential function as in the main text, the author first defines a logarithmic function as its inverse function, and then goes on to study their derivatives and integrals. However, starting from the definition of the exponent of rational numbers (where the existence of the m- th root for general positive numbers must be proven beforehand) and arriving at the definition of the exponent of real numbers requires considerable effort specific to real number theory, and rigorous proof is not easy. On the other hand, there are logarithmic functions,

Therefore, after discussing definite integrals to an intuitively easy-to-understand extent, we will define the logarithmic function inversely using this integral. This does not lose much logical consistency, and the functional equation satisfied by the logarithmic function can be formally proven using knowledge of integrals. Therefore, many people believe that it is better to introduce the logarithmic function in this form and then teach the exponential function as its inverse function, and this method is often attempted.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

a＞0, a≠1として、y＝a^xで表される関数で、aを指数関数の底(てい)という。xが1, 2, 3のような自然数のとき、a^xはaの累乗、すなわちaをx回掛け合わせたものである。

　　a¹＝a,　a²＝a×a,
　　a³＝a×a×a,……
x＝0については、a⁰＝1と定める。たとえば3⁰＝1である。xが負の整数のときは、a^x＝1/a^-xと定める。たとえば、
　　10^-1＝1/10＝0.1,
　　5^-2＝1/5²＝0.04
となる。以上、整数値xについて定められたa^xに対して、次の指数法則が成り立つ。

(1)a^x・a^y＝a^x+y
　　　たとえばa⁵×a⁴＝a⁹
(2)(a^x)^y＝a^xy
　　　たとえば(2³)²＝2⁶＝64
(3)(ab)^x＝a^xb^x
　　　たとえば6³＝(3×2)³
　　　　　　　　＝3³×2³
　xが有理数のとき、x＝n/m（nは整数、mは正の整数）として、a^xはaⁿのm乗根

と定める。この拡張された指数についても、指数法則はそのまま当てはまる。たとえば、
　　8^2/3＝(2³)^2/3＝2^3×2/3＝2²＝4
　xが実数のときa^xを定義するには、次のような考察をする。いまa＞1としておく。このとき、有理数x,x′(x＜x′)について、a^x＜a^x′である。そして、

であるから、実数xに対して、r₁, r₂,……をxに収束する有理数の列とすれば、

が存在して、この極限値はxのみによって定まり、xに収束する有理数列のとり方にはよらないことがわかる。この値をa^xと定める。このようにしてすべての実数xについてa^xが定められ、これについても指数法則は成立する。0＜a＜1のときはa^x＝(1/a)^-xと定めればよい。y＝a^xのグラフでは、a＞1のとき、a^xは増加関数で、x＝0のときy＝1となる。そして、

0＜a＜1のとき、a^xは減少関数で、x＝0のときy＝1、そして、

指数関数の底としては、

である数eを用いることが多い。これは無限級数

の和としても得られる。

　　e＝2.71828182845904523536……
これを用いると、

指数関数の微分、積分は次のようになる。

ここでlogaはaの自然対数である。

はxのすべての複素数値に対して収束する級数であるので、これによってe^xの、指数xを複素数に拡張したときの値を定義する。

と置けば、
　　e^iθ＝cosθ＋isinθ
となる。これをオイラーの公式という。一般の
複素数α＋iβについては、
　　e^α+iβ＝e^α(cosβ＋isinβ)
となる。

　e^xはexpxと書くことも多い。指数関数の定義の仕方について述べておこう。解析教程の多くは、本文のように指数関数を定義したあとに、その逆関数として対数関数を定義して、それらの導関数や積分を調べていくことになっている。しかしながら、有理数の指数の定義（一般の正数についてm乗根の存在をあらかじめ証明しておかなければならない）から出発して実数の指数の定義にまで到達するのには、実数論特有の相当の手間がかかり、厳密な証明はやさしいものではない。一方、対数関数には、

の関係がある。そこで直観的にわかりやすく定積分の議論をある程度済ませたあとで、この積分で逆に対数関数を定義する。こうしても論理的整合性の失われる部分は少ないし、対数関数の満たす関数方程式を、積分の知識から形式的に証明できる。したがって、この形で対数関数を導入して、その逆関数として指数関数を教えるほうがよいという意見も多く、しばしばこの方法が試みられている。

［竹之内脩］

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