Local Lipschitz condition

_{… When} f1 , …, fn are defined on an open set G in n +1-dimensional space with coordinates ( t , x1 , …, xn ), _and are continuous there _, there always exists a solution x1 = _x1 ( t ₎ , x2 ₌ x2 ( t ), …, _xn = xn ( t ) that satisfies ( ₂ ) _for any ( _t0 , x10 , …, _{xn0 )} ∈G. Furthermore, there is _only one such _{solution if} f1 , …, fn satisfy the local Lipschitz condition in G , i.e., if K is any bounded closed set in G , then there exists _a constant LK ＞ 0 such that ( t , x1 , …, xn )∈K, ( t , x1 _′ , …, xn _′ ) ∈K . The solution is defined in an open interval (α, ω), but _its domain generally depends on the initial conditions. …

*Some of the terminology explanations that mention the "local Lipschitz condition" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…　f₁，……，f_nが(t,x₁，……，x_n)を座標とするn＋1次元空間内の開集合Gにおいて定義され，そこで連続なときには，任意の(t₀,x₁₀，……，x_n0)∈Gに対し(2)を満たす解x₁＝x₁(t)，x₂＝x₂(t)，……，x_n＝x_n(t)はつねに存在する。さらにf₁，……，f_nがGにおいて局所リプシッツ条件，すなわち〈KをG内の任意の有界閉集合とするとき，定数L_K＞0が存在して(t,x₁，……，x_n)∈K，(t,x₁′，……，x_n′)∈Kならば，が成り立つならばそのような解はただ一つに限る。解は開区間(α，ω)で定義されるが，その定義域は一般に初期条件に依存する。…

※「局所リプシッツ条件」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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