Function - Kansuu (English) function

Japanese: 関数 - かんすう（英語表記）function

In the past, this was written as "function." If there are two variables, x and y, and the value of x is determined, then the unique value of y is also determined. Then, y is said to be a function of x.

For example, if the price of x apples, each costing a yen, is y yen, then y = ax, and this formula determines y as a function of x. In the case of postal charges, if the charge for a letter weighing x grams is y yen, then y cannot be expressed by a single formula for x. However, since there is only one value of y for each x, y is a function of x. Looking at these two examples, in the first example, the variable x can only take integer values, such as 1, 2, 3, etc., that is, discrete values. In the second example, the value of x is not necessarily an integer (that is, it can take continuous values). In both examples, it is common to think of the value of x with a common sense limit. In this way, in mathematics related to everyday cases, there is a vague agreement about the range of values that the variable x can take, but since that alone does not make it the subject of mathematics, the range of values that the variable x can take is determined. This is called the domain of the function, and the set of all values that the function can take is called the range.

The domain of a function can be given as the set of all real numbers such that 0≦x≦1, or the set of all integers such that 1≦x≦100, but when a function is expressed as an equation, the maximum range that the function can take is often considered to be the domain of the function. For example,

So the domain is all real numbers such that x ≠ 1,

So, the domain is all real numbers where x ≤ 1. A common way to express that y is a function of x is y = f(x), g(x), F(x), etc.

[Osamu Takenouchi]

Composite Functions

Although functions are used individually, they are often combined. In addition to considering the sum, difference, product, and quotient of functions f(x) and g(x), the operation of composing two functions is also commonly used. In other words, if you can define g(f(x)), you can create a new function. For example,

It is a function obtained as a composite function of . Also, when y is a function of x, there are many cases where x can be considered as a function of y. This is the inverse function, and this consideration is important in practical applications.

[Osamu Takenouchi]

Various functions

A function that satisfies f(-x) = f(x) is called an even function, and a function that satisfies f(-x) = -f(x) is called an odd function. For a function y = f(x), if the value of y increases as the value of x increases, it is called an increasing function, and if the value of y decreases as the value of x increases, it is called a decreasing function. Functions are often given various names to describe their characteristics. A function expressed by a polynomial in x is called a rational integer function, a function expressed by a fractional expression in x is called a fractional function or rational function, and a function that includes a radical is called an irrational function. Functions that are considered to be fundamental in differential and integral calculus are called elementary functions, and these include trigonometric functions, exponential functions, and logarithmic functions.

Up until now, we have considered functions of one variable x, but if you determine the values of several variables (multiple variables) _x1 , _x2 , …, _xn , and then a single value of y is determined, then y is said to be a function of _x1 , _x2 , …, _xn . When dealing with spatial (three-dimensional) phenomena in physics, functions of three variables x, y, and z are considered. In economics, many variables (demand, supply, production, employment, propensity to save, propensity to consume, etc.) are often considered.

[Osamu Takenouchi]

Development of the concept of function

The square root is a function that has been considered since ancient times, dating back about 4000 years. Next, trigonometric functions were considered about 2000 years ago. In the 17th century, Napier considered logarithms. Looking at it this way, we can say that the concept of function arose and developed quite naturally as a way of quantitatively grasping things. The word function was created by Leibniz at the end of the 17th century, and the original meaning of the word is action or function. It was probably recognized as the action of matching y values to x values one by one, but it was not yet expressed in such a clear form. Euler and others considered functions to be expressions, and classified functions in the form of expressions. As the concept of function was further clarified and organized from the 18th to the 19th century, the definition mentioned at the beginning of this section appeared. This was due to Dirichlet, and it was in 1837. Today, there is a tendency to think more broadly and call mappings from one set to another a function. However, from the perspective of the original concept of functions, it can be said that the core of the concept of a function is that the value of the variable x changes, and therefore the value of y also changes.

[Osamu Takenouchi]

Various functions
©Shogakukan ">

Various functions

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

昔は「函数」と書いた。二つの変数x、yがあって、xの値が決まれば、それに伴ってyの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であるという。

　たとえば、1個a円のりんごx個の値段をy円とすれば、y＝axであり、この式によってyはxの関数として定められる。また郵便料金の場合、xグラムの書状の料金をy円とすれば、yをxについての一つの式だけで表すことはできない。しかし各xに対してyの値はただ一つ決まるからyはxの関数である。この二つの例をみると、第一の例では、変数xは1個、2個、3個……というように整数値、つまり、ばらばらな値（離散的という）しかとらない。第二の例では、xの値は整数値とは限らない（つまり、連続的な値をとる）。また、どちらの例でもxの値についてはその大きさについて常識的な限度を設けて考えるのが普通である。このように、日常の事例に関連する数理としては、変数xのとりうる値の範囲については漠然とした約束があるが、それだけでは数学の対象とはなりえないので、変数xがとることのできる値の範囲を決める。これを関数の定義域といい、関数のとる値全体の集合を値域という。

　関数の定義域としては、0≦x≦1であるような実数全体の集合、1≦x≦100であるような整数全体の集合などという与え方もあるが、関数が式で示されたとき、その関数がとりうる最大の範囲をその関数の定義域と考えることも多い。たとえば、

では、定義域はx≠1であるような実数全体、

では、定義域はx≦1であるような実数全体を考える。yがxの関数であることを一般的に表す方法として、y＝f(x)あるいはg(x), F(x)などが用いられる。

［竹之内脩］

合成関数

関数は単独でも用いられるが、いくつかの関数を組み合わせて考えることも多い。関数f(x), g(x)の和、差、積、商などを考えるだけでなく、二つの関数を合成するという操作もよく用いられる。すなわち、g(f(x))というものが定義できれば、これで新たな関数ができあがる。たとえば、

の合成関数として得られた関数である。また、yがxの関数であるとき、逆に、xをyの関数と考えることのできる例も多い。これが逆関数であり、この考察は実用上重要である。

［竹之内脩］

いろいろな関数

f(－x)＝f(x)を満たす関数を偶関数、f(－x)＝－f(x)を満たす関数を奇関数という。関数y＝f(x)において、xの値が増加すれば対応するyの値も増加するとき増加関数、xの値が増加すればyの値が減少するとき減少関数という。関数は、その特徴を表すために、いろいろな名前をつけてよばれることが多い。xの多項式によって表される関数を有理整関数、xの分数式で表される関数を分数関数、あるいは有理関数といい、根号の加わった関数を無理関数という。なお、微分積分学で基本的であると考えられる関数を初等関数というが、これには、三角関数、指数関数、対数関数などがある。

　いままでは1変数xの関数を考えてきたが、いくつかの変数（多変数）x₁, x₂,……, x_nに対し、これらの値を決めれば、それに伴ってyの値がただ一つ定まるとき、yはx₁, x₂,……, x_nの関数であるという。物理学で空間（三次元）の現象を問題にするときは、3変数x, y, zの関数が考察される。また経済学では、数多くの変数（需要量、供給量、生産量、雇用量、貯蓄性向、消費性向など）を考えることが多い。

［竹之内脩］

関数概念の発達

古くから考えられた関数は平方根で、4000年ぐらい昔にさかのぼることができよう。ついで三角関数が2000年ぐらい昔に考えられている。17世紀になってネーピアが対数を考えた。このようにみていくと、関数の概念は、ものの数量的把握の方法として、きわめて自然に発生し、形成されてきたといえよう。関数ということばをつくったのは17世紀末のライプニッツで、原語の意味は働き、機能ということである。xの値にyの値を一つずつ対応させる働きという認識だったのだろうが、まだ、そのように明確な形では表現されてはいない。オイラーなどは、関数すなわち式と考えて、関数を式の形で分類している。18世紀から19世紀にかけて関数概念がさらに明確化され、整理されていくなかで、この項の初めに述べたような形の定義が登場する。これはディリクレに負うものであって、1837年のことであった。今日ではさらに広く考えて、一つの集合から他の集合への写像のことも関数とよぶ風潮がある。しかし、関数本来の考え方からいえば、変数xの値が動いていく、それに伴ってyの値も動いていく、というところに関数概念の中心があるといえる。

［竹之内脩］

いろいろな関数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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