Cyclotomic equation

Japanese: 円分方程式 - えんぶんほうていしき（英語表記）cyclotomic equation

This is also known as a cyclotomic equation. In the domain of complex numbers, the equation x ⁿ -1 = 0 has exactly n roots. These n roots can be shown by the vertices of a regular n- gon inscribed in a unit circle, with x = 1 as one of its vertices. If we rewrite the left-hand side of x ⁿ -1 = 0 as x ⁿ -1 = ( x -1)( x ⁿ ^-1 + x ⁿ ^-2 + ... +1), then in order for this to become 0,
(1) x -1 = 0, i.e. x = 1
(2) x ⁿ ^-1 + x ⁿ ^-2 +…+1=0
is satisfied. Equation (2) gives the n - 1 roots of 1, excluding 1. This equation (2), or an equation obtained by factorizing it and setting the factor to 0, is called a cyclotomic equation.

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Japanese:

円周等分方程式ともいう。方程式 xⁿ－1＝0 の根は，複素数の領域では，正確に n 個存在する。これら n 個の根は，x＝1 を一つの頂点にもち，単位円に内接する正 n 角形の頂点によって示すことができる。xⁿ－1＝0 の左辺を xⁿ－1＝(x－1)(xⁿ^-1＋xⁿ^-2＋…＋1) と書き換えれば，これが 0になるためには，
(1) x－1＝0　すなわち　x＝1
(2) xⁿ^-1＋xⁿ^-2＋…＋1＝0
の一方が満たされるときにかぎる。方程式 (2)は，1の n 個の n 乗根のうち 1を除いた n－1 個の根を与える。この方程式 (2)，あるいはそれを因数分解した因子を 0とおいた方程式を円分方程式という。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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