Angular momentum

Japanese: 角運動量 - かくうんどうりょう

A vector quantity with three components that represents the magnitude of rotation of an object. If the particle's position is x , y , z and its momentum is p _x , p _y , p _z , the components of the angular momentum in the x , y , and z directions are yp _z － zp _y , zp _x － xp _z , xp _y － yp _x
The angular momentum of a system of particles is the sum of the angular momentum of each particle, and the angular momentum of a continuous object is the sum of the angular momenta of each small part of the object.

If the particle's position vector is r and its momentum vector is p , then the angular momentum L is the vector product r × p , as defined above. This form shows that angular momentum is the moment of momentum. If the origin of r changes, the value of L also changes.

[Hajime Tanaka]

Angular momentum in macroscopic motion

In the case of macroscopic motion, angular momentum is the areal velocity multiplied by twice the mass m of the particle. Let us now consider a particle rotating at a constant speed on the circumference of a circle of radius a . In this case, the radius connecting the center of the circle and the particle sweeps (draws) an area of π a ² in a time of 2π a / v . In this case, the magnitude of the areal velocity is π a ² ÷ (2π a / v ) = va / 2
and its direction is the quantity represented by the line segment shown in Figure A. In this case, the angular motion also has the same direction and can be represented by a line segment whose magnitude is 2 m times the areal velocity, or mva .

When a force acts on a particle, the angular momentum generally changes, but the force does not act directly; if the force is expressed as a vector f , it acts in the form of a force moment r × f . Therefore, the equation of motion for angular momentum is dL / dt = r × f . When the force acting on a particle is a central force, the force moment with respect to the center of force is always zero, and the angular momentum does not change over time and is conserved (law of conservation of angular momentum).

In the case of a rigid body, if the sum of the moment of forces acting on each part is N , the change in angular momentum L over time is given by dL / dt = N. Since a rigid body is an object that does not undergo internal changes, its state of motion can be expressed by a small number of physical quantities. For example, when a rigid body rotates around a fixed axis, each momentum and moment of force has only axial components Lz and _Nz , and their change in _time is given by I ( dLz / dt ) ₌ Nz . Here, I is the quantity equivalent to the mass in Newton's equation of motion, and is determined by the density distribution of _the rigid body and the position of the axis of rotation, and is called the moment of inertia. It should be noted that when the density distribution inside a rigid body is not symmetrical around the axis of rotation, the direction of the angular momentum L and the direction of the axis of rotation ω are generally different ( Figure B ). In this case, if the angular velocity is ω, the relationship L = Iω holds, but I is not just a number but a tensor determined by the density distribution of the rigid body, and is called the inertia tensor. All of these equations of angular motion are derived from Newton's laws.

[Hajime Tanaka]

Angular momentum in quantum motion

In quantum motion, physical quantities are always expressed as operators, and their values are given by the eigenvalues of these operators. The operator for the angular momentum of orbital motion is the momentum operator

Using this, L = r × p , that is,

Here, ħ is the Planck constant h divided by 2π. The value of orbital angular momentum in quantum motion is significantly different from that in macroscopic motion (classical mechanical motion) in the following three respects. (1) The values of any two components of angular momentum are never determined simultaneously. (2) The magnitude of angular momentum and the value of only one of its components can be determined simultaneously. (3) In this case, the values of the magnitude of angular momentum and one of its components are

and m ħ, where l is 0 or a positive integer, and m is any integer that satisfies − l ≦ m ≦ l , with 2 l + 1 choices for each l . Treating angular momentum quantum-wise in this way is called quantization of angular momentum.

Even in quantum states, angular momentum is often conserved. In this case, the quantum state can be expressed by l and m . l and m are called the quantum numbers of angular momentum. For each value of l , the quantum state is often represented by a letter of the alphabet as shown in the table .

Elementary particles such as electrons, protons, neutrons, and photons have their own angular momentum. In this case, angular momentum appears even if the particle does not have any extension, and in that sense it is not derived from the rotational motion of the particle, but is determined by the number of components of the wave function that represents these particles. This is called spin angular momentum, and its value has the same form as the orbital angular momentum mentioned above.

where j is the number of components representing particles, s , and so j = ( s - 1)/2. In the case of electrons and protons, s is 2, so j = 1/2. In general, j is an integer or half integer (an integer plus 1/2). Therefore, the magnitude of angular momentum and the value of one of its components, including the case of orbital angular momentum, are

It becomes.

The sum of two or more angular momentums is called composite angular momentum. The values of composite angular momentum are the same as those of a single angular momentum,

When two angular momenta j ₁ , m ₁ , j ₂ , and m ₂ are combined, J is j ₁ + j ₂ , j ₁ + j ₂ -1, ..., | j ₁ - j ₂ |
In this case, the eigenstate of the composite angular momentum can be obtained by superposing _{pairs of m1 and m2} _that satisfy _M = m1 + m2 _.

[Hajime Tanaka]

Natural phenomena and angular momentum

By observing the movements of planets in the solar system, especially Mars, Kepler and Tycho Brahe discovered that the areal velocity of the planets is constant (Kepler's second law). This can be said to be an observation of the conservation of angular momentum in planetary motion. In addition, the orbits of the solar system are almost in the same plane, and each planet rotates in the same direction. This indicates that the angular momentum of each planet points in the same direction. It can be said that each planet is responsible for the angular momentum of the entire solar system.

The state of atoms and atomic nuclei is often determined by the magnitude of angular momentum and one of its components, and these values are usually not very large. For this reason, the law of conservation of angular momentum is extremely useful in studying nuclear reactions and nuclear decay phenomena.

[Hajime Tanaka]

Angular momentum (Figure A)
©Shogakukan ">

Angular momentum (Figure A)

Angular momentum and angular velocity (Figure B)
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Angular momentum and angular velocity (Figure B)

Symbols for Eigenstates of Angular Momentum (Table)
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Symbols for Eigenstates of Angular Momentum (Table)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

物体の回転の大きさを表す、3成分をもつベクトル量。粒子の位置をx、y、z、運動量をp_x、p_y、p_zとすれば、角運動量はそのx、y、z方向の成分が
　yp_z－zp_y, zp_x－xp_z, xp_y－yp_x
で与えられる。複数の粒子系の角運動量は各粒子の角運動量を成分ごとに総和したものであり、連続的な広がりをもつ物体の角運動量は、この物体を小さな部分に分けたときの各部分の角運動量の総和である。

　粒子の位置ベクトルをr、運動量ベクトルをpとすれば角運動量Lは、前述の定義が示すように、rとpとのベクトル積r×pとなる。この形は、角運動量が運動量のモーメントであることを示している。またrの原点が変わればLの値も変わってくる。

［田中　一］

マクロな運動における角運動量

マクロな運動の場合、角運動量は面積速度に粒子の質量mの2倍を乗じたものである。いま粒子が半径aの円周上を一定の速さで回転しているとする。このとき円の中心と粒子とを結ぶ半径は、2πa/vの時間にπa²の面積を掃過(そうか)する（描く）。このとき面積速度は、大きさが
　πa²÷(2πa/v)＝va/2
で、その方向が図Aの示す線分で表現される量である。この場合、角運動もまた同じ方向をもち、大きさが面積速度の2m倍、すなわちmvaの線分で表すことができる。

　粒子に力が働くと、角運動量は一般には変化するが、力は直接なままの形では作用せず、力をベクトルfで表すと、力のモーメントr×fの形で作用する。したがって、角運動量の運動方程式はdL/dt＝r×fとなる。粒子に働く力が中心力の場合には、力の中心に関する力のモーメントはつねにゼロとなって、角運動量は時間的に変化せず保存される（角運動量の保存則）。

　剛体の場合には、各部分に働く力のモーメントの和をNとすれば、その角運動量Lの時間的変化は、dL/dt＝Nで与えられる。剛体は内部変化を行わない物体であるので、その運動状態を少数個の物理量で表現することができる。たとえば、剛体がある固定した軸の周りを回転する場合の各運動量と力のモーメントは、軸方向の成分L_z、N_zのみをもち、その時間変化はI(dL_z/dt)＝N_zで与えられる。ここでIは、ニュートンの運動方程式の質量に相当する量で、剛体の密度分布と回転軸の位置から定まり、慣性モーメントという。注意すべきことは、剛体内の密度分布が回転軸の周りに対称でない場合、一般に角運動量Lの方向と回転軸ωの方向とが異なることである（図B）。この場合にも、角速度をωとすれば、L＝Iωの関係があるが、Iは単なる数ではなく剛体の密度分布から決まるテンソルであって、これを慣性テンソルという。なお、これらの角運動の方程式は、いずれもニュートンの法則から導かれるものである。

［田中　一］

量子的な運動における角運動量

量子的な運動の場合、物理量はつねに演算子として表現されており、その値はこれらの演算子の固有値で与えられている。軌道運動の角運動量の演算子は、運動量の演算子

を用いて、L＝r×pすなわち、

となる。ここでħは、プランク定数hを2πで割ったものである。量子的な運動における軌道角運動量のとる値は、マクロな運動（古典力学的運動）の場合と、次の3点で著しく異なっている。(1)角運動量のどの2成分もそれらの値が同時に決まることはない。(2)角運動量の大きさといずれか一つの成分のみその値を同時に決めることができる。(3)この場合角運動の大きさとその1成分のとる値は

およびmħの値のみである。ここで、lは0または正の整数であり、mには1個のlに対して2l＋1個の選び方があって－l≦m≦lを満たす任意の整数である。このように角運動量を量子的に扱うことを角運動量の量子化という。

　量子的状態の場合でも角運動が保存されることが多い。この場合、量子的状態はlとmとで表すことができる。lとmを角運動量の量子数という。lの値ごとに、表で示すようなアルファベットの文字を用いて量子的状態を表すことが多い。

　電子や陽子、中性子あるいは光子などの素粒子は自分自身の角運動量を有している。この場合の角運動量は、粒子が広がりをもたなくても現れるものであって、その意味で粒子の自転運動に由来するものではなく、これらの粒子を表現する波動関数の成分の数で決まる。これをスピン角運動量といい、その値は前述の軌道角運動量と同じ形

で与えられるが、jは粒子を表す成分の数をsとしてj＝(s－1)/2となる。電子や陽子の場合sが2であって、j＝1/2となる。一般にjは整数か半整数（整数に1/2を加えたもの）となる。したがって、軌道角運動量の場合も含めて、角運動の大きさとその1成分の値は

となる。

　2個あるいはこれ以上の角運動量の和を合成角運動量という。合成角運動量のとる値も1個の角運動量の場合と同様であって、

　で与えられる。j₁、m₁、j₂、m₂の二つの角運動量を合成した場合には、Jは
　　j₁＋j₂，j₁＋j₂－1，……，|j₁－j₂|
のいずれかである。この場合の合成角運動量の固有状態は、M＝m₁＋m₂を満たすm₁とm₂との組を重ね合わせて得ることができる。

［田中　一］

自然現象と角運動量

太陽系の惑星の運動、とくに火星の運動を観測して、ケプラーとティコ・ブラーエは、惑星の面積速度が一定であることを発見した（ケプラーの第二法則）。これは惑星運動の角運動量保存を観測したものといえよう。また、太陽系ではその軌道がほぼ同一面内にあって、各惑星の回転の向きは同じである。これは各惑星の角運動量が同じ方向を向いていることを示している。太陽系全体の角運動量は各惑星が担っているとみてよい。

　原子や原子核の状態は、角運動量の大きさとその1成分の固有状態になっていることが多く、しかもその値はあまり大きくないのが普通である。このため、核反応や核の崩壊現象を研究するうえで、角運動量の保存則はきわめて有効である。

［田中　一］

角運動量〔図A〕

角運動量と角速度〔図B〕

角運動量の固有状態の記号〔表〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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