Harn-Banach extension theorem

...Linear operators are equivalent to matrices acting on dimensional vector spaces, and the operation of creating T ^* from T is equivalent to the operation of creating a matrix ( b _{i j} ) made up of matrices ( a _{i j} ).
[Harn-Banach extension theorem]
Suppose there is a linear subspace M of X that is a closed set with respect to a distance defined by the norm. Then, a bounded linear functional f ₀ defined on M is extended to a bounded linear functional f defined on all of X , so that ∥ f ∥ = ∥ f ₀ ∥. …

*Some of the terminology that refers to the "Harn-Banach extension theorem" is listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…線形作用素は有次元ベクトル空間に作用する行列に相当するものであり，TからT^*を作る操作は，行列(a_ij)からなる行列(b_ij)を作り出す操作に相当する。
［ハーン=バナッハの拡張定理Harn‐Banach extension theorem］
　Xの線形部分空間Mがあって，ノルムから定義される距離に関して閉集合であるとする。このとき，Mで定義された有界線形汎関数f₀は，X全体で定義された有界線形汎関数fに拡張され，∥f∥＝∥f₀∥となる。…

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出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報