Vortex - Uzu (English spelling)

Japanese: 渦 - うず（英語表記）vortex

When part of a fluid (gas or liquid) rotates like a top, that part is said to be in vortex motion. This part is also called a whirlpool. For example, the Naruto whirlpool is a large water whirlpool, and a typhoon is an air whirlpool. When you stir water in a teacup with a spoon, the entire water in the bowl rotates like a top, so the entire water can be thought of as a single whirlpool, but if you float some tea leaves in it and observe closely, you can see that each part of the water has a different rotational motion. For example, the tea leaves near the center rotate around and around, while the tea leaves off the center move in a circular motion while maintaining their position. In other words, the part of the water near the center of the teacup rotates on its axis, but the part of the water off the center hardly rotates at all ( Figure A ). This part of the water that rotates on its axis is a whirlpool.

Generally, when a fluid moves, such as in a river, the movement of the fluid as a whole is extremely complex, but it is relatively simple when each part is considered. That is, if we consider a small spherical part, it rotates on its axis while moving in a translational motion. The speed of this translational motion, v , is the speed of the flow at that point ( Figure B ). Twice the angular velocity of the rotation , Ω , ω = 2 Ω , is called the vorticity of the flow. If water is placed in a cylindrical container and rotated around the central axis at a constant angular velocity Ω , the water will eventually rotate together with the container. At this time, the water at a point of radius r from the center will move in a circular motion at a speed of v = Ωr . In this case, flow velocity x circumference = 2π Ωr ²
= vorticity × area of circle. In this case, each part of the water has the same angular velocity of rotation Ω , and therefore vorticity ω = 2Ω , so the right-hand side of the previous equation, multiplied by the area, can be thought of as representing the total amount of vortices contained in a circle of radius r . This is called the strength of the vortex. On the other hand, "flow velocity × circumference" is called the circulation along the circumference. In general, for any closed curve C , the product of the tangential component of the flow velocity v _s and the line element ds of C , v _s ds, is

is called the circulation along C ,
There is a relationship: Γ ( C ) = total amount of vortices contained in C ( Figure C ). If we take a minute part of the fluid in the flow (called a fluid particle), it rotates at a certain rotational angular velocity Ω while moving in a translational motion at a certain velocity v . If we take a fluid particle close to the direction of the axis of rotation, it also rotates at a certain angular velocity. If we connect the axes of rotation one after another in this way, the fluid particles will be connected like beads, and a thin string of fluid will be formed ( Figure D ). This is called a vortex filament. Also, the curve that corresponds to the string of beads is called a vortex line. In other words, a vortex line is a curve made by connecting the axes of rotation, and indicates that the fluid is rotating around the curve as its axis. Now, if we consider a vortex line that passes through each point on a small closed curve, a tube will be formed with the vortex line as its wall. This is called a vortex tube. The product Γ = ωσ of the cross-sectional area σ and the magnitude of vorticity ω at any point of a vortex tube is constant and is called the strength of the vortex tube. The fluid rotates fast in the narrow parts of the vortex tube and slower in the wide parts. Tornadoes and whirlwinds can be thought of as approximately a single vortex tube, but they rotate slowly near the ground and fast as they become thinner away from the ground. The part of the fluid contained in a thin vortex tube is the vortex filament mentioned above.

[Imai Isao]

Properties of vortex filaments

Fluids such as air and water have low viscosity. A fluid with no viscosity at all is called a perfect fluid. In a perfect fluid, new vortices do not form, and once a vortex forms, it never disappears. This is called Lagrange's vortex theorem. A vortex filament in a perfect fluid moves with the flow, deforming from moment to moment, but its strength Γ = ωσ never changes. When it stretches, its cross-sectional area decreases and its angular velocity of rotation increases. A vortex filament is never interrupted in the flow, and either extends from one boundary of the flow to the next, or forms a closed curve. The latter is called a vortex ring. A cigarette smoke ring is an example of a vortex ring. The circulation Γ ( C ) along a closed curve C represents the sum of the strengths of the vortex filaments that pass through C , so in a perfect fluid, according to Lagrange's vortex theorem, the circulation along a closed curve fixed to the fluid is constant over time. This is called Kelvin's circulation theorem.

[Imai Isao]

Vortex generation

When a flow hits an object, the flow velocity suddenly drops to zero in a thin layer on the object's surface due to viscosity. This thin layer is called the boundary layer, and acts as a roller, rotating between the stationary object and the flowing fluid ( Figure E ). As a rotating fluid, it is a type of vortex. In other words, the boundary layer is a layer of vortices. When the boundary layer separates from the object surface and is pushed out into the flow, where it breaks up, vortices of various sizes are created.

[Imai Isao]

Quantization of vortices

Liquid helium is superfluid at extremely low temperatures below 2.2 K. In superfluid fluids, quantum effects appear, and the Kelvin circulation theorem is

where h is Planck's constant and m is the mass of a helium atom. In this way, the circulation is quantized and takes on discrete values. Since the circulation is nothing but the strength of the vortex thread that runs through a closed curve, this means the quantization of the vortex. When ions are injected into liquid helium, the ions create small vortex rings, and it has been experimentally proven that the strength of these vortex rings, Γ , is given by n = 1 in the previous equation. This is important as it shows that quantum effects appear even in the macroscopic phenomenon of liquid movement.

[Imai Isao]

Rotational motion of water (Figure A)
©Shogakukan ">

Rotational motion of water (Figure A)

Translational motion while rotating (Figure B)
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Translational motion while rotating (Figure B)

Circulation along any closed curve (Fig. C)
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Circulation along any closed curve (Fig. C)

Fluid particles approaching in the direction of the rotation axis (Figure D)
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Fluid particles approaching in the direction of the rotation axis (Figure D)

Boundary layer (Figure E)
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Boundary layer (Figure E)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

流体（気体または液体）の一部がこまのように回転しているとき、その部分は渦運動をしているという。また、その部分を渦という。たとえば、鳴門(なると)の渦潮は大きな水の渦で、台風は空気の渦である。茶碗(ちゃわん)に入れた水をスプーンでかき回すと、茶碗の中の水全体がこまのように回転するので、水全体は一つの渦巻と考えることができるが、茶かすを浮かべて細かく観察すると、水の各部分はそれぞれ異なる回転運動をしていることがわかる。たとえば、中心付近の茶かすはぐるぐる回転するのに対して、中心を外れた茶かすはその姿勢を保ったまま円運動をする。すなわち、茶碗の中心付近の水の部分は自転をするのに、中心を外れた水の部分はほとんど自転をしない（図A）。この自転をする水の部分が渦である。

　川の流れのように、一般に流体が運動する場合、流体全体としての運動はきわめて複雑であっても、その各部分を考えると比較的簡単である。すなわち、小さい球状の部分をとって考えると、それは自転しながら並進運動を行っている。その並進運動の速度vがその点での流れの速度である（図B）。自転の角速度Ωの2倍ω＝2Ωを流れの渦度(うずど)という。円筒形の容器に水を入れて、中心軸の周りに一定の角速度Ωで回転すると、やがて水は容器と一体となって回転する。このとき、中心から半径rのところの水はv＝Ωrの速度で円運動をする。このとき
　　流速×円周＝2πΩr²
　　　　　　　＝渦度×円の面積
の関係がある。この場合、水の各部分は同じ自転の角速度Ω、したがって渦度ω＝2Ωをもつので、それに面積を掛けた前式の右辺は、半径rの円に含まれる渦の総量を表すと考えられる。これを渦の強さという。一方、「流速×円周」は円周に沿う循環とよばれる。一般に、任意の閉曲線Cについて、流速の接線成分v_sとCの線要素dsとの積v_sdsを加え合わせた量

を、Cに沿う循環といい、
　　Γ(C)＝Cに含まれる渦の総量
という関係がある（図C）。流れの中の流体の微小部分（これを流体粒子という）をとると、ある回転角速度Ωで自転しながら、ある速度vで並進運動をしている。その自転軸の方向に近接した流体粒子をとると、それはまたある角速度で自転している。このように次々と自転軸をつなぎ合わせていくと、流体粒子は数珠(じゅず)玉のようにつながって、流体の細い紐(ひも)ができる（図D）。これを渦糸(うずいと)という。また、数珠糸に相当する曲線を渦線(うずせん)という。つまり、渦線は自転軸を連ねてできる曲線で、その曲線を軸として流体が回転運動をしていることを示す。いま、一つの小さい閉曲線上の各点を通る渦線を考えると、渦線を壁とする管ができる。これを渦管(うずくだ)という。渦管の任意の点での断面積σと渦度の大きさωとの積Γ＝ωσは一定で、渦管の強さとよばれる。渦管の細いところでは流体の回転は速く、太いところでは遅い。竜巻やつむじ風は、近似的に1本の渦管のように考えられるが、地面に近いところでは回転は遅く、地面から離れて細くなったところでは回転が速い。細い渦管に含まれる流体の部分が、すなわち前述の渦糸である。

［今井　功］

渦糸の性質

空気や水のような流体は粘性が小さい。粘性がまったくないような流体を完全流体という。完全流体の中では渦は新たに発生することもなく、またいったん発生した渦はいつまでも消滅することはない。これをラグランジュの渦定理という。完全流体の中の渦糸は時々刻々に変形しながら流れにのって運動するが、その強さΓ＝ωσはいつまでも変わらない。伸びると断面積が減って自転の角速度を増す。渦糸は流れの中で中断することはなく、流れの境界から境界まで伸びているか、あるいは閉曲線をつくるかのいずれかである。後者を渦輪(うずわ)という。たばこの煙の輪は渦輪の一例である。閉曲線Cに沿っての循環Γ(C)はCを貫く渦糸の強さの総和を表すから、完全流体ではラグランジュの渦定理により、流体に固定した閉曲線に沿っての循環は時間的に一定不変である。これをケルビンの循環定理という。

［今井　功］

渦の発生

物体に流れが当たる場合、粘性のために流速は物体表面の薄い層の中で急にゼロまで下がる。この薄い層は境界層boundary layerとよばれ、静止した物体と流れる流体に挟まれて回転する、ころの役割を演じる（図E）。これは自転する流体として渦の一種である。つまり境界層は渦の層である。境界層が物体表面からはがれて流れの中に押し出していって分裂すると大小さまざまな渦ができる。

［今井　功］

渦の量子化

液体ヘリウムは絶対温度2.2K以下の極低温では超流動性をもつ。超流動流体では量子効果が現れ、ケルビンの循環定理は

の形になる。ただし、hはプランク定数、mはヘリウム原子の質量である。このように循環は量子化されてとびとびの値をとる。循環は閉曲線を貫く渦糸の強さにほかならないから、これは渦の量子化を意味する。液体ヘリウムの中にイオンを打ち込むとき、イオンによって小さい渦輪がつくられるが、その強さΓが前の式のn＝1で与えられることが実験的に証明された。これは、液体の運動というマクロの現象にも量子的効果が現れることを示すものとして重要である。

［今井　功］

[参照項目] | 渦潮 | 渦度 | 境界層 | 流れ | 流体 | 流体力学

水の回転運動〔図A〕

自転しながらの並進運動〔図B〕

任意の閉曲線に沿う循環〔図C〕

自転軸の方向に近接した流体粒子〔図D〕

境界層〔図E〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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